x0 |
f (x0) |
|
|
|
|
|
f (x0; x1) |
|
|
x1 |
f (x1) |
|
f (x0; x1; x2) |
|
|
|
f (x1; x2) |
|
f (x0; x1; x2; x3) |
x2 |
f (x2) |
|
f (x1; x2; x3) |
|
|
|
f (x2; x3) |
|
f (x1; x2, x3; x4) |
x3 |
f (x3) |
|
f (x2; x3; x4) |
|
|
|
f (x3; x4) |
|
|
x4 |
f (x4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интерполяционный полином Ньютона
С помощью разделенных разностей можно построить многочлен |
|
Pn(x) = f(x0) + (x − x0) · f(x0, x1) + (x − x0)(x − x1) · f(x0, x1, x2) + . . . |
(6.4) |
+(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1) · f(x0, x1, . . . , xn). |
|
Он называется интерполяционным полиномом Ньютона для заданной функции . Эта форма записи более удобна для применения, поскольку при добавлении к узлам x0, x1, . . . , xn нового узла xn+1 все вычисленные ранее члены остаются без изменения, а в формулу добавляется только одно слагаемое. Применяя же формулу Лагранжа надо делать все вычисления вновь.
Если значение функции заданы для равноотстоящих значений аргумента x0, x1 = x0 + h, . . . , xn = x0 + n · h (постоянную величину h = xi+1 − xi, i = 0, 1, . . . , n называют шагом интерполяции),
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
то интерполяционный полином приобретет вид
|
|
|
y0 |
|
2y0 |
|
|
|
Pn(x) = y0 + |
|
(x − x0) + |
|
(x − x0)(x − x1) + . . . |
|
|
||
h |
2!h2 |
|
(6.5) |
|||||
|
ny0 |
|
|
|
|
|||
+ |
|
(x − x0)(x |
− x1) . . . (x − xn−1). |
|
|
|||
n!hn |
|
|
||||||
Здесь ky0 — конечные разности k-го порядка. Они определяются по формуле |
|
k |
||||||
ky0 |
= i=0 (−1)icki yk−i, |
|||||||
где cki — биномиальные коэффициенты. |
|
|
|
|
P |
|||
Сравнивая эту формулу с предыдущей, легко установить, что при xi = x0 + ih (i = 0, n) конечные и
разделенные разности связаны соотношением вида |
|
|
|
f(x0, x1, . . . , xn) = |
ny0 |
. |
(6.6) |
|
|||
|
n!hn |
|
|
Для практического использования формулу (6.5) записывают в превращенном виде. Для этого введем новую переменную величину t, положив x = x0 + ih, где t = — количество шагов h, необходимых для достижения точки x из точки x0. После внесения указанных величин в выражение для Pn(x) получим первую интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед, то есть вблизи начала таблицы:
Pn(x) = y0 + |
|
t |
|
y0 |
+ |
t(t − 1) |
2y0 + . . . |
+ |
t(t − 1) . . . (t − n + 1) |
ny0. |
(6.7) |
1! |
|
|
|||||||||
|
|
2! |
|
|
n! |
|
|||||
Предположим, что точка интерполяции расположена ближе к конечной точке xn таблицы. В этом случае узлы интерполяции следует брать в порядке xn, xn − h, xn − 2h, . . .. Формула Ньютона для ин-
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
терполирования назад тогда будет иметь вид |
|
Pn(x) = f(xn) + f(xn, xn−1)(x − xn) + +f(xn, xn−1, xn−2)(x − xn)(x − xn−1)+ |
(6.8) |
. . . + f(x0, x1, . . . , xn)(x − xn)(x − xn−1) . . . (x − x1). |
|
Разделенные разности можно выразить через конечные разности, если воспользоваться возможностью переставлять в них аргументы, и соотношением (6.7), из которых вытекает
f(x |
n |
) = y |
n |
; f(x |
n |
, x |
n−1 |
) = f(x |
n−1 |
, x |
n |
) = |
yn−1 |
; |
|
1!h |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xn, xn−1, xn−2) = f(xn−2, xn−1, xn) =
Введем переменную t, положив x = xn + th, получим для f(x) формулу Ньютона для интерполирования в конце таблицы
2yn−2 .
2!h2
= y(x) вторую интерполяционную
P |
(x |
|
+ th) = y |
|
+ |
t |
|
y |
|
+ |
t(t + 1) |
2y |
|
+ . . . + |
t(t + 1) . . . (t + n − 1) |
ny |
|
|
|
1! |
n−1 |
|
n−2 |
|
|
||||||||||
n |
|
n |
|
n |
|
|
2! |
|
|
n! |
0 |
||||||
Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполяции функции, то есть для нахождения значений функции y, значение аргументов x которой лежат вне таблицы. Если x < x0 и значение x близкое к x0, то выгодно использовать первый интер-
поляционный полином Ньютона, тогда t = x − xn и t > 0. Таким образом, первая интерполяционная h
формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая — наоборот, для интерполирования назад и экстраполирования вперед.
Укажем, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точная, нежели операция интерполирования.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Многочлены Чебышева
Как видно из формулы (6.3), погрешность замены функции y = f(x) интерполяционным многочленом зависит от выбора узлов интерполяции x1, x2, . . . , xN . Прежде чем перейти к вопросу о рациональном выборе узлов интерполяции, рассмотрим некоторые свойства одного из важнейших и хорошо изученных сейчас классов специальных функций — многочленов Чебишева первого рода, которые часто используютсяся для приближения функций. Многочлен Чебишева n-й степени определяется по формуле
|
2nn! |
|
√ |
|
|
|
|
dn |
|
2 |
n |
− |
21 |
(6.9) |
|
|
2 |
|
|||||||||||
Tn(x) = |
(2n)! |
x |
|
− 1dxn ((x |
|
− 1) |
). |
|||||||
При n = 0, 1, 2, 3, 4 из (6.9) получим первые пять многочленов первого рода:
T0(x) = 1;
T1(x) = x;
T2(x) = 2x2 − 1;
T3(x) = 4x3 − 3x;
T4(x) = 8x4 − 8x2 + 1.
Для определения многочленов Чебышева часто пользуются тригонометрической формой записи
Tn(x) = cos(n arccos x), |x| 6 1, |
(6.10) |
что приводит к таким же выражениям для Tn(x), как и формула (6.9). Из тождественности
cos(n + 1)θ = 2 cos θ cos nθ − cos(n − 1)θ
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
при θ = arccos x имеем рекурентну формулу
Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x).
Многочлен Tn(x) имеет n корней, которые можно получить, решив уравнения
cos(n arccos x) = 0,
или n arccos x = π (2m + 1); |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(2m + |
1)π |
(6.11) |
|
x = cos |
|
|
, m = 0, 1, . . . , n − 1. |
|
2n |
|
|||
Как видно из (6.11), все n корней, которые отвечают значениям m = 0, 1, . . . , n − 1, находятся на отрезке [−1, 1], причем эти точки не равноотстоящие, а сгущаются ближе к концу данного отрезка. Из формулы (6.10) также очевидно, что на отрезке [−1, 1]
max |Tn(x)| = 1. |
(6.12) |
Доказано, что среди всех возможных n значений x на отрезке [−1, 1] корни x(0T ), x(1T ), . . . , x(nT−)1 многочлена Tn(x) имеют такое замечательное свойство:
ωn(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1) = |
1 |
Tn(x) |
(6.13) |
||
2n−1 |
|||||
имеет наименьшее по абсолютной величине максимальное значение. |
|
||||
Принимая во внимание (6.13), запишем |
|
||||
max |ωn(x)| = |
1 |
. |
(6.14) |
||
2n−1 |
|||||
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель