Здесь mi = S30 (xi); mi+1 = S30 (xi+1). Для их определения накладывают условия непрерывности второй производной в точке xi и ограничение на значение сплайна и его производных на концах промежутка [a, b] — краевые условия. То есть нужна дополнительная информация о функции, для которой есть потребность в интерполировании.

Случаи использования кубического сплайна

При построении интерполяционного кубического сплайна наиболее часто используются краевые условия четырех типов. Выбор краевых условий есть одной из центральных проблем при интерполяции функций. Он в особенности важен при необходимости обеспечить высокую точность аппроксимации функции f(x) сплайном S(x) вблизи концов отрезка [a, b]. Краевые значения существенно влияют на поведение сплайна S(x) вблизи точек a и b. Это влияние быстро ослабевает при отходе от них.

Если на концах отрезка [a, b] известны значения 1-й производной f0(x), то естественно воспользоваться краевыми условиями 1-го типа.

1. Краевые условия 1-го типа. Если известно, что S30 (a) = f0(a); S30 (b) = f0(b), то для определения

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Однако следует иметь в виду, что при таком выборе краевых условий точность аппроксимации функции f(x) сплайном S(x) вблизи концов отрезка [a, b] резко снижается. Иногда пользуются краевыми условиями 1-го или 2-го типа, но не с точными значениями соответствующих производных, а с их разностными аппроксимациями. Точность такого подхода невысокая.

Практический опыт расчетов показывает, что в такой ситуации наиболее целесообразным есть выбор естественных краевых условий.

Если f(x) — периодическая функция, то следует остановиться на краевых условиях 3-го типа.

4.Краевые условия 4-го типа. Если f(x) — периодическая функция f(x) = f(x + T ) то f(x0) = f(xn), f(x1) = f(xn+1) m0 = mn, m1 = mn+1 и система уравнений имеет вид

Аппроксимационные свойства кубического сплайна

Аппроксимационные свойства кубического сплайна зависят от гладкости функции f(x) — чем выше гладкость интерполированной функции, тем выше порядок аппроксимации при дроблении сетки и тем больше скорость сходимость.

Если интерполированная функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то есть f(x) C0 [a, b], то

kf(x) − S(x)kC = max |f(x) − S(x)| → 0

x [a,b]

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

при

h = max hi → 0.

06i6N−1

Если интерполированная функция f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную первую производную, то есть f(x) C1 [a, b], а S(x) — интерполяционный сплайн, что удовлетворяет краевым условия 1-го или 3-го типа, то при h → 0 имеем

kf(x) − S(x)kC = o(h), kf0(x) − S0(x)kC = o(1).

Вэтом случае не только сплайн сходится к интерполируемой функции, но и производная сплайна сходится к производной этой функции.

Вслучае, когда f(x) C4 [a, b], сплайн S(x) аппроксимирует на отрезке [a, b] функцию f(x), а его 1-ая

и2-ая производные аппроксимируют соответственно функции f0(x) и f00(x):

kf(x) − S(x)kC = o(h4), kf0(x) − S0(x)kC = o(h3),

kf0(x) − S0(x)kC = o(h2).

Экстремальное свойство кубического сплайна

Интерполяционный кубический сплайн имеет еще одно полезное свойство. Рассмотрим задачу. Задача. Построить функцию f(x), которая минимизирует функционал

b

Z

I(f) = (f00(x))2dx

a

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель