Устойчивость матрицы
Матрица А называется устойчивой, если ее собственные значения имеют отрицательные действительные части.
Задача проверки матрицы на устойчивость есть довольно трудной, и до сих пор не получено скольнибудь простого ее решения. Эту задачу усложняет то обстоятельство, что мы не столько заинтересованы в ее решении для данной конкрентной матрицы A, сколько в получении условий, которые разрешали бы нам утверждать, что разные представители класса матриц A(µ) есть устойчивыми. Вопросы такого типа постоянно возникают при конструировании систем управления, в математической экономике, а также при изучении вычислительных алгоритмов.
Если характеристический многочлен матрицы A получен, то существует большое количество критериев, с помощью которых мы можем судить, имеют ли собственные значения матрицы A отрицательные действительные части или нет. Одним из наиболее распространенных среди них есть критерий Гурвица.
Рассмотрим уравнение:
|λI − A| = λN + a1λN−1 + . . . + aN−1λ + aN = 0. |
(3.7) |
|||||
Для многочлена, присутствующего в уравнении (3.7), составим бесконечную таблицу |
|
|||||
a1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 . . . |
|
a3 |
a2 |
a1 |
1 |
0 |
0 . . . |
|
a5 |
a4 |
a3 |
a2 |
a1 |
1 . . . |
|
a7 |
a6 |
a5 |
a4 |
a3 |
a2 . . . , |
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
где коэффициенты ak полагаются равными нулю, если k > N. Для того чтобы все корни уравнения
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
(3.7) имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все определители
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из последовательности h1 = a1 , h2 = |
a1 |
1 |
|
,. . . . . . были положительнымими. |
|
|
|
|||||
Не существует сколь-нибудь| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
простого |
доказательства |
этого критерия. Причина, почему он не все- |
||||||||||
гда есть эффективным, состоит в необходимости |
вычисления определителя |
| |
λI |
− |
A |
, что есть крайне |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
||
нежелательным, если порядок матрицы A довольно большой.
Системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему вида
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn.
Ее матричный вид
AX = B.
Здесь A — {[aij], (i, j = 1, n)} — матрица коэффициентов системы,
B = |
b2 |
, |
X = |
x2 |
|
- векторы-столбцы. |
|
b1 |
|
|
x1 |
|
|
|
b. . . |
|
|
x. . . |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8)
(3.9)
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Известно, что система (3.8) имеет единственное решение, если ее матрица невырождена (то есть определитель матрицы A отличен от нуля).
В случае вирожденности матрицы система может иметь бесчисленно много решений (если ранг матрицы A и ранг расширенной матрицы, полученной добавлением к A столбца свободных членов равны) или не иметь решений вовсе (если ранг матрицы A и расширенной матрицы не совпадают).
Методы численного решения СЛАУ делятся на точные и приближенные. Метод считают точным, если, пренебрегая погрешностями округления, он дает точный результат после выполнения определенного количества вычислительных операций. Математические пакеты прикладных программ для ПЭВМ содержат стандартные процедуры решения СЛАУ такими распространенными точными методами, как метод Гаусса, метод Жордана-Гаусса, квадратного корня и прочие.
К приближенным методам решения СЛАУ можно отнести метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации и другие. Они разрешают получить последовательность Xk приближений к реше-
нию X такую, что lim Xk = X .
k→∞
Итерационные методы просты, легко программируются и имеют маленькую погрешность округления, но они дают сходящуюся последовательность приближений только при выполнении определенного условия, гарантирующего выполнение принципа сжимающих отображений. Это достаточное условие сходимости итерационного процесса: модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы не должны быть меньше, чем сумма модулей всех других коэффициентов при неизвестных
X |
|
|aii| > |aij|. |
(3.10) |
i6=j
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Оценка погрешности и мера обусловленности
Предположим, что матрица системы линейных уравнений и вектор правых частей заданы неточно и вместо предъявленной к решению системы
Ax = b |
(3.11) |
в действительности решается несколько иная система
A1x = b1, |
(3.12) |
где A1 = A + , b1 = b + η. Обозначим решения (3.11) и (3.12) через x и x1 . Оценим погрешность решения z = x1 − x. Подставим выражения для A1, b1 и x1 в (3.12)
(A + Δ)(x + z) = b + η.
Отнимая (4), получим
Az + x + z = η, z = A−1(η − x − z),
||z|| <= ||A−1||(||η|| + || || · ||x|| + || || · ||z||).
Если маленькие || || и ||η||, то следует ожидать и малости ||z||. Тогда слагаемое. высокий порядок малости. Отсюда вытекает оценка погрешности
z |
k 6 |
kA−1k (kηk + k k kxk) |
. |
k |
1 − kA−1k k k |
||
(3.13) z имеет более
(3.14)
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Довольно часто случается, что погрешность матрицы системы существенным образом меньше погрешности правой части; как модель этой ситуации будем рассматривать случай точной заданности
матрицы системы. Тогда, считая = 0 в (3.14) имеем |
|
||z|| 6 ||A−1|| · ||η||. |
(3.15) |
Для качественной характеристики связи между погрешностями правой части и решения вводится понятие обусловленности матрицы системы. Абсолютные погрешности правой части и решения системы зависят от масштабов, которыми измеряются эти величины и матрица системы. Поэтому правильнее характеризовать свойства системы через связь между относительными погрешностями правой части и решения. Для относительной погрешности решенияс (3.15) имеем
|
|
|
|
|
|
kzk |
6 |
A−1 |
|
|
kηk |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
kxk |
|
|
|
|||||||
Подставляя оценку для |
|
x |
|
|
|
|
|
kxk |
||||||||
|| |
|| |
в (3.16) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
kzk |
A−1 |
k |
A |
|
kηk |
. |
|||||
|
|
|
|
|
kxk 6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k kbk |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.16)
(3.17)
Величину ||A−1 · ||||A|| = condA называют мерой обусловленности матрицы. Величина относительной погрешности решения при фиксированной величине относительной погрешности правой части может стать столь угодно большой при довольно большой мере обусловленности матрицы. Число обусловленности зависит от выбора нормы матрицы. Любая норма матрицы не меньше ее наибольшего
по модулю собственного значения, то есть |
|| |
A |
> |
max |
| |
λ |
A| |
. Собственные значения матрицы A и A−1 |
||||
взаимно обратные; поэтому kA−1k > |
1 |
|
1|| |
|
|
|
||||||
|
= |
|
. Таким образом, |
|||||||||
|λA| |
min |λA| |
|||||||||||
|
|
condA > |
max |λA| |
> 1. |
||||||||
|
|
min |λA| |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Системы уравнений и матрицы с большими значениями мер обусловленности принято называть плохо обусловленными, а с маленькими - хорошо обусловленными. Итак, при решении СЛАУ на ЭВМ обязательно возникают погрешности округления. Поэтому фактически имеем решение x˜ некоторой
|
|
˜ ˜ |
˜ |
|
kx−x˜k |
|
другой системы AX = b. На практике важно знать относительную погрешность δx = |
kxk |
. Если вме- |
||||
˜ ˜ |
˜ |
|
˜ |
˜ |
|
|
сто AX = b |
берется модель AX = b, то есть A в ЭВМ задается точно, то из предыдущих соотношений |
|||||
вытекает δx 6 condAδb (condA — есть мера неопределенности решения системы при неточных входных данных).
|
|
|
|
|
|
˜ ˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если брать модель вычислений AX = b, в которой возмущены лишь элементы A, а b — точное ,то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
используя соотношение C−1 − B−1 = B−1(B − C)C−1, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
˜ |
|
˜−1 |
− A |
−1 |
]b = −A |
−1 |
˜ |
|
˜−1 |
b = −A |
−1 |
|
˜ |
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
X − X = [A |
|
|
|
|
(A |
− A)A |
|
|
(A |
− A)X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
X˜ |
− |
X 6 A−1 |
|
A˜ |
− |
A |
|
X˜ |
|
|
X˜ |
− |
X |
|
6 condA |
A˜ − A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
kAk |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, причем |
|
|
|
|
|
6 |
1 C |
. |
|||||||
|
|
|
|
такая ,что |
|
|
|
|
|
,то существует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Если C-квадратная матрица |
|
|
|
|
|
|
k |
C |
k |
< 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(I + C)− |
|
|
|
|
|| |
(I + C)− |
|
|| |
|
|
−k k |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k(I + C) × Xk = kX + C × Xk > kXk − kC × Xk > (1 − kCk) × kXk .
Так, как (I − kCk) > 0 k(I + C) Xk > 0 (X 6= 0) СЛАУ (I + C)×X = 0 имеет лишь тривиальное решение, которое и означает невырожденность матрицы I + C.
I I |
|
|
I C |
C |
I C −1 |
= (I + C)−1 + C (I + C)−1 |
|
|
|
= |
|||||||||||||
> (I + C)− |
|
|
|
|
(I + C)− |
1 |
= (I + C)− |
1 |
|
× |
C |
|
(I + C)− |
1 |
|
||||||||
= k k = |
|
(1 |
+ ) × ( + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
k > |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
− k k × |
|
|
|
|
|
− k k × |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=k(I + C) −1k − kCk × k(I + C)−1k = (I + C)−1 × (1 − kCk) > 0
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель