Локальна теорема Муавра-Лапласа

Гранична теорема, яка дає змогу обчислити наближено біномні імовірності при великому числі випробувань. Вперше цю теорему отримав Муавр у 1730 р. при Пізніше у 1783 р. Лаплас узагальнив її на випадок довільного

Якщо кількість випробувань значне і в кожному зп незалежних випробувань імовірність настання події А однакова і дорівнює то імовірність того, що при цихп випробуваннях подія А настане к разів: дерівномірно для всіхк, для яких величина міститься в деякому проміжку

На практиці дефункція Лапласа табульована величина.

Через повільну збіжність відносно іця теорема використовується привеликих

Приклад 1. На кожні 40 штампованих виробів приходиться в середньому 4 дефектних. Із продукції навмання вибрано 400 виробів без дефекту.

А – подія, яка означає появу бездефектного виробу в кожному випробуванні, якщо навмання вибраний 1 виріб.

П. 2. Знайти імовірність того, що при 6000 киданнях грального кубика грань з 2 очками випаде 900 разів.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

При розв’язуванні задач на знаходження ймовірності в незалежних випробуваннях відбування події А від к₁ до к₂ разів треба обчислити Безпосередньо обчислювати такі суми громіздко. Крім того, при додаванні великої кількості незалежних значеньможуть утворитись значні похибки.

Імовірність того, що в п незалежних випробуваннях, в кожному з яких імовірність відбування події А дорівнює р, причому задовольняє співвідношенню.

де відповідають:

ØØ

Якщо п не менше кількох сотень, а р не дуже близьке до 0 або 1, то імовірність того, що в п незалежних випробуваннях подія А настане від доК₂ разів.

Øде Øінтегральна функція Лагранжа - табульована величина.

Ø Ø(х), ØØ(0)=0, ØØ(х₂) – Ø(х₁)

ØØ

П. 3. Схожість насіння складає 95%. Знайти імовірність того, що із 2000 посадженого насіння зійдуть від 1890 до 1920. Ø(х₂) – Ø(х₁)=0,4803+

+0,3485=0,8288.

П. 4. Підприємство випускає 99,2% стандартних виробів. Яка імовірність того, що серед 5000 навмання вибраних виробів число нестандартних менше від 60? ØØØ(3,16)+ Ø(6,32)=

=0,4992+0,5000=0,9992.

Теорема Бернуллі

Для довільного в незалежних випробуваннях зі сталою ймовірністюр появи події А має місце дет – частка появи події А в п випробуваннях.

Це найпростіша формула закону великих чисел. Якщо в кожному із незалежних випробувань випадкова подія настає з однією і тією ж самою ймовірністю р, то при достатньо великому числі випробувань з імовірністю, як завгодно близько до 1, частота цієї події буде відрізнятися від її ймовірності р менше від як завгодно малого наперед заданого числа .

Відхилення відносної частоти події від сталої ймовірності

Імовірність того, що в п незалежних випробуваннях відхилення відносної частоти появи події А від сталої ймовірності , деза абсолютною величиною не перевищує довільне. ЗадовольняєØ.

П. 5. Верстат-автомат виготовляє стандартну деталь з імовірністю 0,9. Скільки деталей повинен виготовити верстат для цієї партії, щоб з імовірністю 0,9973 можна було стверджувати, що в партії відхилення відносної частоти появи нестандартної деталі не буде перевищувати 0,03. Визначити при цьому можливу кількість нестандартних деталей в партії. ØØза таблицею.

Якщо задані іі треба знайти найменше число випробуваньп, для якого за таблицею знаходимощоб: 2 ØТоді

П. 6. Скільки разів треба кинути гральний кубик, щоб з імовірністю мала місце нерівність2 Ø

Якщо задані і треба знайтито із умови 2Øзнаходимоt, а (див. п. 5) – найбільше можливе значення відхилення.

П. 7. На факультеті навчається 1095 студентів. Імовірність народження кожного студента в даний день дорівнює 1/365. Знайти: а) найменше число студентів, що народилися 1 січня; б) імовірність того, що 1 січня народилося рівно 3 студента;в) імовірність того, що знайдеться 3 студента, що народилися 1 січня. (р=0,5 за локальною теоремою Муавра-Лапласа).

П. 8. Імовірність настання події А при кожному з 1500 випробувань дорівнює р=0,4. Знайти імовірність того, що: а) частота (відносно) відхиляється від р менше ніж на 0,02; б) число успіхів міститься між 1) 560 і 640;Ø(-2,048)=0,9596; 2) 600 і 680;

П. 9. В урні міститься порівну білих і чорних куль. При 10 000 витягувань з поверненням було витягнуто 5011 білих і 4989 чорних куль. а) Яка ймовірність такого результату? 0,00778. б) Яка імовірність того, що дістанемо більше по модулю відхилення числа витягнутих білих куль за найімовірніше число? 0,174.

П. 10. У практично необмеженій сукупності половина предметів має властивість А, а п’ята частина – властивість В. Властивості А і В розподілені між предметами незалежна. Випадковим способом вибрано 1600 предметів. Знайти імовірність того, що у цій виборці частоти властивостей А і В відхиляються від їхніх ймовірностей не більше ніж на 1%.

П. 11. Монету кидають разів. Знайти імовірність того, що: а) герб випаде рівноразів:б) герб випаде на 2т разів більше, ніж цифра. в) число випадань герба буде міститься в межах: 1)і2Ø(1)=0,6827; 2)і2Ø(2)=0,9545; 3)і2Ø(3)=0,9973.

П. 12. Візуальне спостереження штучного супутника Землі можливе у даному пункті з імовірністю р=0,1 кожного разу, коли він пролітає над цим пунктом. Родиться 100 спроб спостерігати супутник. Знайти практично вірогідний (з імовірністю 0,997) діапазон числа вдалих спостережень

П. 13. Імовірність успіху у кожному випробуванні дорівнює 0,9. Скільки треба здійснити випробувань, щоб з імовірністю 0,98 можна було очікувати не менше 150 успіхів? ØØ

П. 14. у ставок було випущено 100 мічених риб. Невдовзі після цього із ставка було висловлено 400 риб, серед яких виявилось 5 мічених. Оцінити загальну кількість риб у ставку з імовірністю: а) 0,6 б) 0,6

П. 15. Бюффон (Франція) підкидав монету 4040 разів і при цьому герб з’явився 2048 разів. Знайти імовірність того, що при повторенні цього досліду відносна частота появи герба відхилиться від імовірності 0,5 за модулем не більше, ніж у досліді Бюффона. 2Ø2Ø

П. 16. В урні містяться білі і чорні кулі у відношенні 4:1. Знайти найменше число виймань куль з поверненням, при якому з імовірністю 0,95 можна очікуваним, що модуль відхилення відносної частоти появи білих куль від імовірності буде не більше, ніж 0,01.

П. 17. Відділ технічного контролю перевіряє 475 виробів. Імовірність того, що виріб бракований, дорівнює 0,05. Знайти з імовірністю 0,95 межі, між якими міститься число бракованих виробів серед перевірених

П. 18. Гральний кубик підкинули 1000 разів. Знайти з імовірністю 0,95 межі, між якими міститься число випадань четвірки. 2Ø

Оцінку імовірності через частоту можна записати таким чином:

Øде

Інтервал записується з урахуванням

надійний інтервал, а його кінці – надійні межі для ймовірності р при надійному рівні . Отже, надійний інтервал – це інтервал з випадковими межами, залежними відт, який з імовірністю, не меншою від , покриває цілком певне (але невідоме нам) значенняр.

Статистичний зміст надійного рівня означає, що коли здійснюється багато серій поп випробувань в кожній, то в середньому не менше, як в 95% серій надійний інтервал покриває значення р.