Формула повної ймовірності

Теорема про повну ймовірність. Нехай простір елементарних подій представлений у вигляді об’єднання попарно несумісних подійдеØ при . Тоді для довільної подіїА:

Приклади.

1. На конвеєр надходять деталі з 3 цехів. Перший цех дає в середньому 0,2% браку, другий – 0,3%, третій – 0,5%. Знайти ймовірність надходження на конвеєр бракованої деталі, якщо з 1 цеху надійшло 3000, з 2 – 6000, з 3 – 1000 деталей. А – навмання вибрана деталь є бракованою.

^{навмання вибрана деталь надійшла з і цеху.}

2. Партія електричних лампочок на 20% виготовлена І заводом, на 30% – ІІ і на 50% ІІІ заводом. Імовірність браку І, ІІ та ІІІ заводів відповідно 0,01; 0,005 і 0,006. Яка ймовірність того, що взята навмання із партії лампочок виявилась бракованою?

3. У трьох урнах лежать білі і чорні кулі. В І урні – 3 білі і 1 чорна, у ІІ – 6 білих і 4 чорних, у ІІІ – 9 білих і 1 чорна. З навмання взятої урни виймають 1 кулю. Знайти ймовірність того, що вона біла.

4. По літаку виконується 3 одиночних постріли. Імовірність попадання при І пострілі дорівнює 0,4, при ІІ – 0,5, при ІІІ – 0,7. Для виходу літака із дії достатньо трьох попадань. При одному попаданні літак виходить із дії з імовірністю 0,2; при двох попаданнях з імовірністю 0,6. Знайти імовірність того, що в результаті трьох пострілів літак буде виведений із дії. А – вихід із дії літака.

Нехай в літак не попав жоден снаряд;в літак попав один снаряд;в літак попало 2 снаряди;в літак попало 3 снаряди.

5. В двох партіях виробів по 12 і 10 штук є по 1 бракованому. Взятий навмання виріб із І партії перекладається в ІІ партію після, чого вибирається навмання виріб із ІІ партії. Визначити імовірність вибору бракованого виробу із ІІ партії.

6. Із повного комплекту доміно навмання вибираються 2 кістки. Визначити імовірність того, що другу кістку можна прикласти до першої:

7. В 2-х урнах знаходиться білих тачорних куль. Із кожної урни навмання вибирається 1 куля, а потім із цих двох куль навмання вибирається одна. Яка імовірність, що куля біла?

8. У тирі є 5 гвинтівок, імовірності попадання з яких дорівнюють відповідно: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Визначити імовірність попадання з одного пострілу, якщо стрілець бере одну із гвинтівок навмання.

9. Для контролю продукції із 3-х партій деталей взята для випробування 1 деталь. Яка ймовірність виявлення браку, якщо в одній партії 2/3 деталей браковані, а в інших партіях – усі якісні? 2/9

10. Радіолампа може належати до однієї з трьох партій з ймовірностями Імовірності того, що лампа відпрацює задане число годин, відповідно дорівнюють 0,1;0,2;0,4. Визначити імовірність того, що лампа відпрацює задане число годин.

11. Характеристика матеріалу, який вибраний для виготовлення продукції, з ймовірностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,25; 0,16 і 0,09 може знаходитися в шести різних інтервалах. В залежності від властивості матеріалу ймовірності отримання стандартної продукції.

12. Визначити імовірність того, що 100 лампочок, які вибрані навмання із 100, виявляється стандартними, якщо відомо, що кількість бракованих лампочок на 1000 штук рівно можливо від 0 до 5. к бракованих лампочок;

13. В ємність, яка містить п куль, поклали білу кулю. Яка ймовірність витягти із ємності білу кулю, якщо усі допущення про початкову кількість білих куль рівно можливі?

14. В сумці знаходиться 15 тенісних м’ячів, із них 9 нових. Для І гри навмання вибираються 3 м’яча, які після гри повертаються у ящик. Для ІІ гри також навмання вибираються 3 м’яча. Знайти ймовірність того, що усі м’ячі, які взяті для ІІ гри, нові.

для І гри взято к нових м’ячів,

15. 15 екзаменаційних білетів містять по 2 питання, які не повторюються. Студент може відповісти тільки на 25 питань. Визначити імовірність того, що екзамен буде зданий, якщо для цього досить відповісти на 2 питання із одного білета або на 1 питання із І білета і на вказане додаткове питання із ІІ білета.

16. Готуючись до екзамену з ТЙ, студент з п білетів вивчив лише В якому випадку ймовірність витягти вивчений білет буде більшою: а) коли він тягне білет Іб) коли він тягне ІІоднакове.

17. Виконується 3 постріли одній і тій самій мішені. Імовірності попадання при І, ІІ і ІІ пострілах відповідно дорівнюють 0,4; 0,5 і 0,7. Знайти ймовірність того, що в результаті цих трьох пострілів у мішені буде одна пробоїна. Хоча б одна пробоїна.

18. На будівництво надходять залізобетонні плити із 4 цементних заводів в кількості 50, 10, 40 та 30 штук відповідно. Кожен із заводів допускає брак при виготовленні плит відповідно 1%, 5%, 2% і 3%. Яка ймовірність того, що навмання взята плита буде стандартною? 0,9979.

19. При гарних метеоумовах ймовірність вдалої посадки літака дорівнює 0,9999; при поганих – 0,9991. Для даного аеропорту погода у 80% льотна. Знайти ймовірність вдалої посадки літака.

20. Курс долара підвищується за квартал з імовірністю 0,9 і знижується з імовірністю 0,1. При підвищенні курсу долара фірма розраховує отримати прибуток з імовірністю 0,85; при зниженні – з імовірністю 0,5. Знайти ймовірність того, що фірма отримає прибуток. 0,815.

21. В крамниці є телевізори з імпортними і вітчизняними кінескопами у відношенні 2:9. Імовірність виходу із ладу протягом гарантійного терміну телевізора з імпортним кінескопом дорівнює 0,005; з вітчизняним – 0,01. Знайти ймовірність того, що куплено в крамниці телевізор витримає гарантійний термін. 0,991.