Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі.

Дозволяє обчислити імовірність того, що в серії з п незалежних випробувань подія А відбудеться т разів. Незалежні події можуть відбуватися при однакових або різних умовах. В І випадку імовірність події А у всіх випробуваннях одна й та сама. Це досліджує частинна теорема про повторення випробувань.

Теорема 1. Нехай імовірність події А дорівнює Р, і нехай імовірність того, що в серії зп незалежних випробувань ця подія А відбувається т разів. Тоді:

де (1)

Приклади

1. Яка ймовірність того, що при 10 киданнях грального кубика 3 очка випадуть рівно двічі.

В ІІ випадку ймовірність події А-змінна величина. Це досліджує загальна теорема про повторення випробувань:

Теорема 2. Нехай виконується п незалежних випробувань, причому ймовірність появи події А у і-му досліді дорівнює р_і (не появи - ),. Тоді ймовірність того, що подіяА відбудеться рівно т разів, дорівнює коефіцієнту при, дедовільний параметр, у виразі твірної функції

При отримаємо (1).

Як у загальному, так і в частковому випадку:

2. Виконується 4 незалежних постріли по одній і тій самій мішені з різних відстаней. Імовірності попадання відповідно дорівнюють: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Знайти ймовірності промаху 1, 2, 3 і 4 попадань.

3. Виконується 4 незалежних постріли по одній і тій самій мішені з різних відстаней. Імовірності попадання відповідно дорівнюють: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Знайти ймовірності промаху 1, 2, 3 і 4 попадань. р=0,25.

Набір чисел біномний розподіл, а сама формула (1) – біномна формула, оскільки права частина цієї формули є загальним членом розвинення бінома Ньютона. Функція розподілудискретна. При– симетрична. Прикрутіша справа, прикрутіша зліва. Якщоп мале – розподіл вузький, якщо п велике – розподіл широкий.

Найімовірніше число успіхів у схемі Бернуллі

Розглянемо серію з п випробувань Бернуллі і з заданою ймовірністю р події А і дослідимо ймовірність як функціют.

Найімовірніше число успіхів задовольняє нерівність

Якщо неціле, то є одне значенняЯкщоціле, то значеньдва:або

4. Гральний кубик кидають 35 разів. Яке найімовірніше число появ грані з 1?

5. Є 5 станцій, з якими підтримується зв’язок. Час від часу зв’язок порушується через атмосферні перешкоди. Перерва зв’язку з кожною із станцій виникає незалежно від інших з імовірністю 0,2. Знайти імовірність того, що в даний момент часу зв’язок буде не більше, ніж з 2 станціями.

6. Система РЛС веде спостереження за 10 об’єктами. Кожен із об’єктів може бути незалежно від інших загубленим з імовірністю 0,1. Знайти імовірність того, що хоча б 1 із об’єктів буде загублений.

7. Прилад складається із 8 однорідних елементів, але можна працювати при наявності в робочому стані не менше 6 з них. Кожен із елементів за час роботи приладу відновляє незалежно від інших з імовірністю 0,2. Знайти імовірність того, що прилад відновить за час

8. Виконується 4 незалежних випробування постріли з літака. Імовірність попадання в мішень при кожному пострілі 0,3. Для знищення об’єкту досить 2 попадання. При одному попаданні об’єкт знищується з імовірністю 0,6. Знайти імовірність того, що об’єкт буде знищений. А – знищення об’єкта; в об’єкт не попав жоден снаряд;в об’єкт попав 1 снаряд.

9. В урні 20 білих і 5 чорних куль. Послідовно виймають 6 куль, причому після кожного вибору куля повертається до урни (вибір з поверненням). Яка ймовірність того, що серед вибраних куль буде: а) рівно 4 білих б) ен менше 4 білих

10. Імовірність виходу з ладу кожного з двигунів літака дорівнює , причому мотори псуються незалежно один від одного. Літак лишається у повітрі, якщо працює не менше половини його двигунів. Для яких значеньтреба віддати перевагу двомоторному літаку перед 4-моторним?.при

11. Гральний кубик кинули 8 разів. Знайти імовірність того, що 4 очки випадуть: а) тричі б) не менше 3 разів

12. Монету кинули 5 разів. Знайти імовірність того, що випаде: а) 1 раз б) 5 разів

13. Вироби містять 5% браку. Яка ймовірність того, що з 5 виробів: а) не буде жодного бракованого б) будуть 2 бракованих

14. Що більш імовірно: виграти у рівносильного партнера а) 3 партії з 4 чи 5 з 8? б) не менше 3 партій з 4 чи не менше 5 з 8?

15. Гральний кубик кинули 10 разів. Яка ймовірність того, що кількість очок кратна 3 випаде: а) 3 рази б) не менше 3 разівв) не більше 3 разів

16. Дві лампи включено в електричне коло послідовно. Знайти ймовірність того, що при підвищенні напруги відбудеться розрив кола, якщо ймовірність того, що лампа перегорить при цих умовах для обох ламп однакова і дорівнює

17. Імовірність настання події у кожному з 18 незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти ймовірність настання цієї події принаймні двічі.

18. Подія В настане тоді, коли подія А настане не менше 3 разів. Знайти ймовірність настання події В, якщо ймовірність настання події А при одному випробуванні дорівнює 0,3 і здійснюється 7 незалежних випробувань.

19. Гра полягає у накладу ванні кілець на кілок. Гравець одержує 6 кілець і кидає їх до першого попадання. Знайти ймовірність того, що принаймні одне кільце залишиться невикористаним, якщо ймовірність попадання при кожному киданні 0,1.

20. Імовірність того, що електрична лампа залишається справною після 1000 год роботи, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що хоча б одна із трьох ламп залишається справною після 1000 год роботи.

21. Імовірність відмови кожного приладу при випробуванні дорівнює 0,2. Скільки таких приладів треба випробувати, щоб з імовірністю не меншою 0,9 дістати не менше 3 відмов?

22. Імовірність влучення в 10 при одному пострілі дорівнює 0,2. Скільки треба зробити незалежних пострілів, щоб з імовірністю не меншою 0,9 влучити в 10 принаймні 1 раз.

23. З урни, яка містить 20 білих і 2 чорних кулі, п разів виймають по 1 кулі з поверненням. Знайти найменше значення п, для якого ймовірність витягнути хоча б 1 чорну кулю буде більше 0,5.

24. Для одного баскетболіста ймовірність закинути м’яч у кошик при одному кидку дорівнює 0,4. Зроблено 10 кидків. Знайти найімовірніше число влучень і відповідну ймовірність.

25. Знайти число незалежних випробувань, які треба здійснити для того, щоб найімовірніше число появ події дорівнювало 20, якщо ймовірність настання цієї події при одному випробуванні дорівнює 0,8. ,п=24 або 25.

26. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0,95. Скільки деталей повинно бути в партії, щоб найімовірніше число нестандартних деталей в ній дорівнювало 55?

27. Знайти імовірність того, що у сім’ї з дітей є 2 хлопчика, якщо ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,5.

28. Здійснено 5 незалежних випробувань, кожне з яких полягає в одночасному підкиданні двох монет. Знайти ймовірність того, що рівно в трьох випробуваннях з’явились по 2 герби.

29. В коло вписаний квадрат. Знайти ймовірність того, що серед 4 точок, навмання кинутих в круг, всередину квадрата попадуть: а) дві точки б) принаймні 2 точки

30. В коло вписаний правильний трикутник. Знайти ймовірність того, що з 5 навмання кинутих в круг жодна не попаде всередину зазначеного трикутника.

31. Урна містить 9 білих і 1 чорну кулю. Знайти ймовірність того, що при 10 вийманнях з поверненням буде витягнута принаймні 1 чорна куля. Скільки разів треба виймати по 1 кулі з поверненням, щоб імовірність появи хоча б однієї чорної кулі була не менша 0,9?

32. Із продукції птахофабрики 70% яєць є стандартними, 20% більшого об’єму і 10% - із 2 жовтками. Знайти ймовірність того, що із 5 випадково взятих яєць 2 будуть нестандартними. 0,3087

33. Із 20 банків 10 розташовані за межами міста. Для аудиторської перевірки випадково вибрані 5 банків. Яка ймовірність того, що хоча б 2 з них будуть в межах міста? р=0,8483.