Умовна ймовірність випадкових подій

Отримання додаткової інформації ("випало непарне число очок грального кубика") може змінити значення ймовірностей тих чи інших подій (ймовірність випадання п’яти очок стає 1/3, а випадання 2 – 0).

Отримання інформації про результат випробування означає, що замість цієї множини (простору) елементарних подій треба брати його частинкуЯкщо наслідок випробуваннях не належить до , то його ймовірність стає 0. Якщо, то його ймовірність збільшується. При цьому ясно, що усі ймовірності таких наслідків збільшуються в одне й те саме число ряд, так як відношення їх ймовірностей не змінюються при отриманні повної інформації.

Якщо відомо, що відбулося подія х, то ймовірність довільного наслідку, який не сприяє події х обертається в 0, а наслідок, який сприяє події х, множиться на

Умовна ймовірність події А відносно події х: число, яке показує ймовірність подіїА при умові, що відбулася подія Х.

Якщо відомо, що відбулася подія Х, то ймовірність довільної події приймає повне значення:

4. 

Теорема множення

Теорема 1. Якщо А і В довільні події одного і того ж імовірного простору, то

Для незалежних подій , тому, тобто для незалежних подій відбування однієї з них не впливає на ймовірність іншого.

Теорема 2. Якщо довільні події одного й того ж імовірного простору, то.

5. Студент прийшов на екзамен, підготувавши лише 20 із 25 питань навчальної програми. Екзаменатор задав йому 3 питання. Знайти імовірність того, що студент знає відповіді на всі ці питання.

6. Нехай є а білих і в чорних ящиків. Причому в білому ящику х червоних і у синіх кульок, а в чорному – U червоних і V синіх кульок. Спочатку вибирають навмання ящик, а потім із нього дістають кульку. Знайти ймовірність того, що дістали в результаті досліду червону кульку.

червона кулька із білого ящика.

червона кулька із чорного ящика.

синя кулька з білого ящика.

синя кулька із чорного ящика.

7. Виконується 2-разове послідовне витягання 1 кулі із урни, яка містить 1- білих і 5 чорних кульок. Яка ймовірність того, що при витяганні дістанемо 1 або 2 білі кулі? а) схема з поверненням б) схема без повернення

8. Два стрільці, для яких імовірності влучення в мішень дорівнюють відповідно 0,7 і 0,8, роблять по 1 пострілу. Яка ймовірність того, що: а) обидва стрільці влучать у ціль? 0,56; б) жоден із них не влучить у мішень 0,06; в) хоча б 1 зі стрільців влучить у мішень 0,94; г) лише 1 зі стрільців влучить у мішень 0,38.

9. У кожному з 3 ящиків лежить по 10 деталей: у І ящику 2 деталі браковані, у ІІ – 3, у ІІІ – 1. З кожного ящика беруть по 1 деталі. Знайти імовірність того, що: а) всі деталі браковані 0,0006; б) усі 3 деталі стандартні 0,504; в) серед 3 деталей є принаймні 1 стандартна 0,994.

10. Підкидають 2 гральних кубика. Знайти імовірність того, що випаде принаймні одна 6, якщо відомо, що сума очок рівна 8. 2/5.

11. З урни, в якій лежать т білих і п чорних куль, беруть послідовно 2 кулі. Знайти імовірність того, що друга куля біла, якщо перша куля: а) біла б)чорна.

12. Події А і В несумісні і Знайти

13. Імовірність того, що в результаті 4 незалежних випробувань подія А настане принаймні 1 раз, дорівнює 0,59. Знайти імовірність настання події А при одному випробуванні, якщо вона під час всіх випробувань. Відповідь:

14. Імовірність влучення під час одного пострілу дорівнює 0,4. Скільки треба зробити пострілів, щоб імовірність принаймні одного влучення була не меншою, ніж 0,9?

15. В урні 2 білих і 3 чорних кулі. Із урни дістають підряд 2 кулі. Знайти імовірність того, що обидві кулі білі. б) якщо 1 куля повертається

16. Прилад складається із 3 вузлів, кожен з яких протягом часу t незалежно від інших може не вийти з ладу: Відмова хоча б одного вузла веде до відмови приладу вцілому. Знайти надійність приладу (безвідмовної роботи).