Випадкові величини

На практиці випадкові величини бувають дискретними, неперервними, змішаними і сингулярного типу.

Дискретні випадкові величини – якщо значення, які вона може набувати, утворюють тільки скінченну або зчислену множину.

Для того, щоб знати випадкову величину необхідно:

• знати ті значення, які вона може приймати;

• знати, як часто, тобто, з якою імовірністю вона приймає ці значення.

Для того, щоб задавати імовірності значень випадкових величин, і при цьому задавати їх одним і тим самим способом в теорії імовірності, вводять поняття функції розподілу випадкової величини.

Нехай випадкова величина,х – довільне дійсне число. Імовірність того, що приймає значення, менше, ніж, називається функцією розподілу ймовірності випадкової величини..

Властивості функції розподілу

Нехай довільна випадкова величина, аїї функція розподілу.

1. Функція розподілу є неспадною: якщо то

2. Функція розподілу може мати не більше, ніж зчисленну множину стрибків.

3. 

4. Функція розподілу неперервна зліва

5. Функція розподілу дискретної величини розривна, зростає стрибками при тих значеннях х, які є можливими значеннями . Величина стрибків дорівнює

6. Якщо 2 можливих значення випадкової величини розділені інтервалом, в якому інших можливих значеньнемає, то в цьому інтервалстала.

Зазначимо, що випадкова величина визначається своєю функцією розподілу неоднозначно: різні випадкові величини можуть мати ту саму функцію розподілу.

Приклад 1. Нехай випадкова величина набуває значень 0 і 1, кожне з імовірністю 1/2, аЗавждиа функція їх розподілу

Неперервні випадкові величини

Неперервна випадкова величина якщо її функцію розподілу можна надати у вигляді:дещільність розподілу ймовірностей – невід’ємна функція.

Якщо абсолютно неперервна, а тим більше диференційована прито

Змішана випадкова величина в одних інтервалах неперервна, а в інших – дискретна.

Сингулярні випадкові величини в жодному інтервалі не є дискретними, ні неперервними. Функція розподілу такої величини неперервна при всіхх, але майже скрізь. Графік такої функціївідомий під назвою кривої Кантора.

Властивості щільності розподілу ймовірностей

1.

2. При

3.

П. 2. На відрізок навмання кидається точка. Імовірність попадання точки на деяку частину відрізка пропорційна мірі Лебега цієї частини.

неперервна при випадкова величина, що рівномірно розподілена на відрізку.

П. 3. Випадкова величина набуває значення 0, 1, 2, 3 з ймовірностями, рівними відповідно 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Побудувати графік функції розподілу величини

П. 4. двічі кидають монету. Знайти закон розподілу випадкової величини числа випадань герба і побудувати графік функції розподілу

П. 5. Здійснюються послідовні незалежні випробування, при кожному з яких імовірність успіху дорівнює р. Випробування проводяться до першого успіху. Знайти щільність розподілу після випробувань, здійснених до першої появи події А. Це геометричний розподіл за параметромр.

П. 6. Стріляють у мішень до першого влучення. Влучення при різних пострілах – незалежні події, ймовірність при кожному пострілі – р. Описати простір елементарних подій . Обчислити розподіл випадкової величиничисла зроблених пострілів..

П. 7. Стрілець на змаганнях має 4 патрони і стріляє в ціль до першого влучення. Імовірність влучення при одному пострілі 0,7. Описати простір елементарних подій Знайти розподіл випадкової величини – числа промахівОбчислитиЗаписати вираз функції розподілу та побудувати її графік.

П. 8. Розв’язати попередню задачу за умови, що стрілець має п патронів і ймовірність влучення дорівнює Р.

П. 9. Є п заготовок для певної деталі. Імовірність виготовлення стандартної деталі із заготовки дорівнює р. Знайти закон розподілу числа заготовок, що залишаються після виготовлення першої стандартної деталі. Записати вираз функції розподілу.

П. 10. Щільність розподілу випадкової величини дорівнюєОбчислити коефіцієнта та функцію розподілу

П. 11. Випадкова величина рівномірно розподілена: а) на відрізку б) на відрізкуЗнайти в обох випадках функцію розподілу випадкової величини. а)рівномірно розподілена натому якщотоприприприпри

П. 12. Щільність розподілу випадкової величини дорівнюєа) знайти сталуа 0,5; б) знайти так побудувати графікиОбчислити

П. 13. Щільність розподілу випадкової величини дорівнює а) ; б). а) знайти сталуа; б) знайти функцію розподілу та побудувати її графік; в) обчислити ймовірність