Класичне означення ймовірності

Нехай простір елементарних подій є скінченною множиноютобто є тількип можливих результатів випробування. У цьому випадку називають повною групою подій (або докладніше повною групою усіх попарно несумісних результатів випробування). Вважаємо додатково, що елементарні події рівно можливі:

Тоді, якщо події А сприяють т елементарних подій, то а так як подіїпопарно не сумісні, то за теоремою додавання для несумісних подій

Ймовірність події А – відношення числа результатів випробування, сприятливих для події А, до числа усіх рівноможливих і попарно несумісних результатів випробування.

Деякі властивості ймовірності

1. Для кожної події

2. Імовірність вірогідної події дорівнює 1:

3. Імовірність неможливої події дорівнює 0: Ø)=0.

42. Партія складається із 10 стандартних і 5 нестандартних однакових деталей. Із партії навмання дістають 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед добутих деталей 2 виявились бракованими.

43. Знайти ймовірність того, що число очок, яке випаде на кубику при одному киданні, буде парним (1/2) або кратне 3 (1/3).

44. Знайти ймовірність того, що серед навмання вибраних п людей є принаймні двоє, що народились в один день і місяць.

45. В урні п куль, з яких т білі , решта – чорні. З урни виймаютькуль. Яка ймовірність, що серед них рівноп білих куль? геометричний розподіл.

46. Капелюхи п відвідувачів були переплутані в гардеробі і видані відвідувачам випадковим способом. Знайти ймовірність того, тільки один з відвідувачів отримає свій власний капелюх.

47. Скільки існує способів складання у випадковому порядку списку із 4 кандидатів для вибору на керівну посаду? 4!=24.

48. В лотереї "Спортлото" гравець повинен закреслити 6 із 49 можливих чисел від 1 до 49. Скільки існує можливих варіантів вибору для гравця?

49. У ліфт 9-поверхового будинку входить 4 людини. Яка ймовірність того, що вони вийдуть на різних поверхах?

Теореми додавання імовірності

Теорема 1. Якщо події А і В несумісні, то

Приклади

1. Стрілець стріляє в мішень. Ймовірність вибити 10 очок дорівнює 0,3; 9 очок – 0,6. Чому дорівнює ймовірність вибити не менше 9 очок?

Слідство: Якщо події попарно несумісні, то ймовірність об’єднання цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей.

Теорема 2. Для довільної події А маємо: .

Доведення. Так як Ø. За т. 1:.

Якщо протилежна подія розпадається на мешу кількість варіантів, ніж пряма подія, то доцільні при обчисленні ймовірності перейти до протилежної події.

2. Чому дорівнює ймовірність того, що стрілець не виб’є 10- із п.1? Виб’є 0-8.

Теорема 3. Для довільних подій має місце рівність:

Аксіоматичні основи теорії ймовірностей

Класичне означення ймовірності недостатнє для розв’язування багатьох задач навіть для скінченного простору елементарних подій не завжди виконується умова рівно можливості. Не завжди є скінченною множиною. Більш того, існують задачі, для яких при одних числових даних існує скінченний простір, а при других – не існує. Сектор з центральним кутом:раціональне,- скінченне,ірраціональне,- не існує, тому що не можна коло розділити на скінченне число частин-секторів однакової площі.

Система аксіоми А.М. Колмогорова (1929 р.).

Задається простір елементарних подій довільна множинаіалгебрайого підмножин, які називаються подіями.

Система називаєтьсяалгеброю (борелівським полем множин), якщо виконуються такі умови: 1)2) якщопослідовність множин зто3) якщото й

3. Нехай довільна множина,Тоді системає алгеброю.

Довільній події А ставиться у відповідність невід’ємне число - ймовірність подіїА. Як функція множини А ймовірність представляє собою нормовану міру, яка називається ймовірною мірою (розподілом ймовірностей), яка задовольняє таким аксіомам:

1.

2. для попарно несумісних подій

3.