Теорема Пуассона

Належить до так званих граничних теорем теорії ймовірностей. Існують різні наближені формули, за якими можна обчислювати біномні ймовірності при великих

Якщо , а ймовірність подіїв серії випробувань Бернуллі (тобто для подій, що рідко трапляються), то виконується теорема Пуассона.

Якщо імовірність того, що подіяА в п незалежних випробуваннях Бернуллі, в кожному з яких імовірність появи події А при разовому випробуванні відбудеться рівнок разів, то де.

На практиці теоремою Пуассона користуються у формі наближеної рівності депри цьому(невеликір) і достатньо великі п: (п не менших кількох десятків). Сукупність значень розподіл Пуассона.

Якщо ціле, топриі приякщоне ціле, то приПри зростаннік від 0 до величиназростає, при подальшому збільшеннік – спадає. Для обчислення ііснують таблиці.

Приклади

Завод відправив на базу 1000 якісних виробів. При транспортуванні кожен виріб може бути ушкоджений з імовірністю 0,003. Знайти ймовірність того, що на базу прибуде 3 ушкоджених вироби.
З умов випуску лотереї виграє 1 із 20 усіх випущених білетів: а) скільки треба купити білетів, щоб імовірність виграшу була не менша 0,99; б) яка ймовірність того, що із 200 білетів виграє не менше 5? а) за таблицеюб)
Робітниця прядильного цеху обслуговує 800 веретен. Імовірність обриву пряжі в кожному з веретен за проміжок часу Знайти: а) найімовірніше число обривів пряжі і його ймовірність; б) імовірність того, що за часt буде більше 10 обривів. наближення Пуассона; а)б)
Для кожного абонента імовірність зателефонувати на комутатор протягом 1 год дорівнює 0,01. Комутатор обслуговує 300 абонентів. Знайти імовірність того, що протягом 1 год зателефонує: а) 4 абонента; б) не більше 4 абонентів 0,815.
Апаратура містить 2000 однаково надійних елементів. Імовірність відмови для кожного з них дорівнює 0,0005. Знайти імовірність відмови апаратури, якщо вона настає при відмові хоча б одного з елементів.
З а 1 год на комутатор надходить в середньому 60 викликів. Знайти імовірність того, що за 30 с не буде жодного виклику.
Імовірність того, що виріб не витримає контролю, дорівнює 0,001. Знайти імовірність того, що з 5000 виробів принаймні 2 з них не витримають контролю. 0,9596.
Знайти імовірність того, що серед 200 виробів виявиться більше 3 бракованих, якщо в середньому браковані вироби становлять 1%. 0,143.
При приймальному контролі з партії з 1000 виробів здійснюється вибірка 50 шт. без повернення. Знайти імовірність того, що у цій вибірці не виявиться бракованих виробів, якщо в усій партії їх є 4 шт. Порівняти точне значення Р з наближенням, знайденим за формулою Пуассона.
Серед насіння пшениці 0,6% насіння бур’янів. Випадковим способом вибирають 1000 насіння. Яка імовірність виявити серед них: а) не менше 3 насіння бур’янів 0,938; б) не менше 16 насіння бур’янів 0,00051; в) рівно 6 насінин бур’янів. 0,1606.
Книга в 500 сторінок містить 50 помилок. Знайти імовірність того, що на випадково вибраній сторінці виявиться не менше 34 помилок. 0,00016.
Відомо, що імовірність виготовлення бракованого свердла дорівнює 0,02. Виготовлені свердла складають у коробки по 100 шт. 1) Знайти імовірність того, що: а) у коробці не виявиться бракованих свердел 0,135; б) число бракованих свердел у коробці буде не більше 2. 0,677; 2) яку найменшу кількість свердел треба класти у коробку, щоб з імовірністю, не меншою 0,9, в ній було не менше ніж 100, якісних? 110.
Скільки ізюму в середньому повинні містити булки, щоб імовірність знайти у булці хоча б 1 ізюминку була не менша 0,99.
В порту кожну добу з імовірністю 1/6 може з’явитись один надважковантажний корабель. Імовірність появи біль одного корабля протягом доби нехтовно мала. Яка імовірність, що за місяць (30 днів) в порт прибудуть не більше 4 кораблів?
АТС обслуговує 600 абонентів. Імовірність, що який-небудь абонент подзвонить за годину дорівнює 0,005. Знайти найбільш імовірне число дзвінків за годину і його імовірність т=3, р=0,231.