Формула Байеса

Якщо існують попарно несумісні події які охоплюють усі можливі випадки, і якщо відомі ймовірності подіїА при кожній із цих подій, то ймовірність події х при умові, що відбулася подія А:

Приклади.

1. В цеху а ящиків зі стандартними деталями і в ящиків з бракованими деталями. Серед стандартних деталей р% нікельовані, а серед бракованих нікельованих (в кожному ящику). Витягнута навмання деталь виявилась нікельованою. Яка ймовірність того, що вона стандартна?деталь стандартна;бракована;А – деталь нікельована.

Тлумачення формули Байеса. Нехай подія А може відбутися в різних умовах, щодо характеру яких можна висловити п припущень (гіпотез) Імовірності цих гіпотезвідомі (апріорні ймовірності). Відомі також умовні ймовірностіподіїА при різних гіпотезах. Здійснюється експеримент, в результаті якого може настати або не настати подія А. Якщо А настала, то можна переоцінити ймовірність , кожної з гіпотез за формулою Байеса (апостеріорні ймовірності після випробування).

2. До крамниці надходять вироби з 2^х заводів, причому з І заводу надходить у 3 рази більше виробів, ніж з ІІ. І завод випускає в середньому 0,5% бракованої продукції, ІІ – 0,2%. Куплений у крамниці виріб виявляється бракованим (А). Яка ймовірність того, що він був випущений І заводом (х₁).

3. Лікарня приймає в середньому 50% хворих, що мають захворювання х₁, 30% - що мають захворювання х₂: 20% - х₃. Імовірність повного виліковування хвороби х₁ дорівнює 0,9; х₂ – 0,7; х₃ – 0,8. Яка ймовірність того, що хворий, виписаний з лікарні цілком здоровий (А), був хворий на хворобу х₁?

4. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% жінок – дальтоніки. Навмання обрана особа – дальтонік. Яка ймовірність того, що це – чоловік? (кількості чоловіків і жінок однакові)

5. Прилад може збиратись із високоякісних деталей ф деталей звичайної якості (40% і 60% відповідно). Надійність (імовірність безвідмовної роботи) приладу з високоякісних деталей 0,95, а із деталей звичайної якості – 0,7. Прилад за час роботи працював безвідмовно. Знайти ймовірність того, що він зібраний з високоякісних деталей:

6. Два стрільця незалежно один від одного стріляють по одній мішені роблячи по 1 пострілу. Ймовірність попадання в мішень І стрільця 0,8, ІІ – 0,9. Після пострілів в мішені виявлена 1 пробоїна. Знайти ймовірність того, що вона належить І стрільцю.

х₁ – обидва стрільця промахнулися;

х₂ – обидва стрільця попадуть;

х₃ – І попаде, а ІІ промахнеться;

х₄ – І не попаде, а ІІ попаде;

Після досліду х₁ і х₂ – неможливі, а імовірності.

7. Телеграфне повідомлення складається із сигналів "·" і "-". Статистичні властивості перешкод такі, що викривляються в середньому 2/5 повідомлень "·" і 1/3 повідомлень "-". Відомо, що серед переданих сигналів "·" і "-" зустрічаються у відношенні 5:3. Визначити ймовірність того, що переданий сигнал перейнятий, якщо : а) прийняли "·"; б) прийняли "-".

А прийнятий "·"; х₁ – переданий "·";

В прийнятий "-"; х₂ – переданий "-";

8. Є 10 однакових урн: в 9 з них знаходиться по 2 чорних і білих кульки, а в одній – 5 білих і 1 чорна кульки. Із урни, взятої навмання, витягнута біла кулька. Яка ймовірність того, що кулька витягнута з урни, в якій було 5 білих кульок?

9. Оператор РЛС фіксує літак з імовірністю 0,9 і приймає перешкоду за літак з імовірністю 0,1. На практиці в 15% випадків на екран оператора попадає перешкода. Оператор визначив, що у повітряному просторі є літак. Знайти ймовірність того, що сигнал отримано дійсно від літака.

10. На підприємстві в системі аварійної сигналізації при аварійній ситуації звуковий сигнал з’являється з імовірністю 0,95. Сигнал без аварійної ситуації виникає з імовірністю 0,001. Ймовірність аварійної ситуації 0,005. Чому дорівнює ймовірність аварійної ситуації, якщо сигналізація спрацювала? 0,8268.

11. При гарних метеоумовах ймовірність вдалого приземлення літака дорівнює 0,9999, при поганих – 0,9991. Для даного аеропорту у 80% погода льотна. Літак сів на аеродром. Знайти ймовірність того, що погода гарна. 0,80013.

12. В цеху працює 3 майстри і 6 учнів. Майстер допускає брак при виготовленні виробу з імовірністю 0,05, учень – з імовірністю 0,15. Готовий виріб із цеху виявився бракованим. Яка ймовірність, що його виготовив майстер? 0,1429

13. Вироби поставляються двома фірмами у відношенні 5 і 8. Стандартні вироби І фірми складають 90%, ІІ – 85%. Взятий навмання виріб виявився стандартним. Яка ймовірність того, що він виготовлений І фірмою? 0,3982.