Теорія поля / Посiбник

331

Тема А3 Магнітне поле постійного струму

Задача 31 Знайти кут α2 , під яким силові лінії магніт-

ного поля виходять у середовище із відносною магнітною проникністю μ2 , якщо кут падіння α1 =89°, μ1 =104 , μ2 =1.

Задача 32 За допомогою закону Біо-Савара-Лапласа визначити магнітну індукцію B , створену відрізком лінійного дроту L зі струмом I , у точці M , віддаленій від дроту на відстань b .

Задача 33* За допомогою закону Біо-Савара-Лапласа вивести формулу для визначення напруженості магнітного поля H на осі колового витка радіусом a зі струмом I .

Задача 34* Постійний струм I =5 А проходить уздовж рамки, виконаної у вигляді правильного багатокутника, вписаного у коло радіусом a =10 см. Кількість сторін багатокутника n =6, кількість витків рамки ω =5. Визначити напруженість магнітного поля H в центрі багатокутника.

Задача 35* Через провідник круглого перерізу радіусом a проходить постійний струм I . Визначити напруженості магнітного поля H усередині і поза проводом. Побудувати якісну картину розподілу полів.

Задача 36* Уздовж труби круглого перерізу з внутрішнім радіусом R1 і зовнішнім радіусом R2 проходить по-

стійний струм I . Визначити напруженості магнітного поля H усередині труби, у тілі труби і поза трубою. Побудувати якісну картину поля.

332

Задача 37* По внутрішньому провіднику коаксіального кабелю радіусом R1 і зовнішньому провіднику товщи-

ною R3 − R2 в протилежних напрямках проходить постій-

ний струм I . Визначити напруженість магнітного поля в провідниках кабелю, а також у внутрішній і зовнішній областях. Побудувати якісну картину розподілу полів.

Задача 38 Знайти різницю скалярних магнітних потенціалів ϕмA −ϕмB між точками A і B , розміщеними в маг-

нітному полі лінійного провідника зі струмом I =10 А. Ко-

ординати точок: rA =2 см; θA =90°; rB =4 см; θB =0°.

Задача 39 У повітрі створене рівномірне магнітне поле напруженістю H0 =240 А/м. У це поле помістили феромаг-

нітну кульку, відносна магнітна проникність якої μi =20. Знайти магнітну індукцію в кульці Bi .

Задача 40* Над границею поділу двох магнітних середовищ із магнітними проникностями μ1 =1 і μ2 =999 у се-

редовищі з μ1 на відстані R від границі розміщений про-

відник зі струмом. Визначити напруженості магнітного поля в точках M і N : R =2 см; точка M перебуває на відстані R1 =2 см від провідника зі струмом; точка N перебу-

ває на відстані 4 см від точки M перпендикулярно до поверхні поділу; сила струму I1 =10 А.

Задача 41 Прямолінійний довгий дріт, уздовж якого проходить струм I1 =60 А, розміщений у повітрі паралель-

но плоскій поверхні сталевої ( μ →∞) плити на відстані h =2 см від неї. Визначити напруженості магнітного поля

333

H у точках A і B , координати яких: xA =0; yA =0; xB =3 см; yB =2 см.

Задача 42 Уздовж довгого циліндричного сталевого дроту проходить постійний струм. Радіус дроту R0 =1 см.

Відносна магнітна проникність сталі μ =50. Середовищем, яке оточує дріт, є повітря. Проекція векторного магнітного потенціалу Az на осі z змінюється як функція відстані r від осі дроту за такими законами:

–усередині дроту A1 =–6,28 r2 Вб/м;

–поза дротом A2 =–25,1×10−6 ln 0,01r –6,28×10−4 Вб/м.

Знайти закони зміни модулів напруженості магнітного

поля H (r) і вектора намагніченості M (r) .

Тема А4 Змінні електромагнітні поля

Задача 43* Прямолінійний довгий дріт і прямокутна одновиткова рамка розміщені в одній площині. Розміри рамки: b =50 см; c =30 см. Уздовж дроту проходить сину-

соїдальний струм i =10sin (10t) А. Рамка рухається зі

швидкістю v =80 см/с у напрямку, перпендикулярному до осі дроту. Записати вираз для е.р.с., яка наводиться в рамці, якщо при t =0 найближча сторона рамки перебуває на відстані a =10 см від осі дроту. Знайти миттєве значення е.р.с., коли найближча сторона рамки перебуває на відстані x =20 см від її початкового положення.

Задача 44 Кільце радіусом R0 =40 см поміщене в рів-

номірне магнітне поле, індукція якого змінюється за законом

334

До кільця короткими провідниками приєднаний електромагнітний вольтметр, опір якого нескінченний. Знайти показання U вольтметра.

Задача 45* Визначити тангенс кута α , який утворю-

до поверхні мідної жили коаксіального кабелю в точці, яка перебуває на її поверхні. Підрахувати величину потоку вектора Пойнтінга через бічну поверхню жили на довжині в l =1 м. Радіус жили R1 =0,3 см; внутрішній радіус оболонки

R2 =1 см; струм, який проходить по кабелю I =50 А; на-

пруга між жилою і оболонкою U =10 кВ; питома провідність міді γ = 5,7×107 Ом-1м-1.

Задача 46* На границі поділу діелектрик-повітря ( z =0) напруженість електричного поля плоскої хвилі змінюється за законом

z =0,5 км.

Задача 47* Плоска електромагнітна хвиля проникає з повітря в металеву плиту (γ = 5×106 Ом-1×м-1; μ =1). Фазовий фронт паралельний поверхні плити. Частота коливань f =5 кГц. Амплітуда густини струму на поверхні

δm =5 2 ×105 А/м2. Визначити активну потужність P , яка

335

поглинається шаром металу товщиною x =0,5 см і площею

S =1 м2.

Задача 48 Коаксіальний кабель із двошаровим діелектриком має радіус внутрішньої жили R0 =5 мм, радіус по-

верхні поділу двох діелектриків R1 =21,8 мм, внутрішній радіус оболонки R2 =40 мм. Відносні діелектричні проникності внутрішнього шару діелектрика ε1 =5, зовнішнього шару діелектрика ε2 =2. Кабель перебуває під постійною

напругою U =100 кВ. Уздовж жили і оболонки кабелю проходить струм I =100 А. Жила і оболонка кабелю вико-

нані із міді (γ = 57×106 См/м). Вибрати товщину оболонки

так, щоб потоки вектора Пойнтінга через бічні поверхні жили і оболонки були рівні.

Задача 49 З метою дослідження електричних властивостей склопластику дослідним шляхом знайдений коефіці-

∙

єнт відбиття K 0 = −0,4 при куті падіння ϕ =45° з повітря. Вважаючи склопластик ідеальним діелектриком, визначити його діелектричну проникність ε2 .

Задача 50 Електромагнітна хвиля має частоту f =5000 Гц і проникає із повітря в провідне середовище з

питомою провідністю γ =107 Ом-1×м-1 і відносною магнітною проникністю μ = 103 . Визначити коефіцієнт загасання α , коефіцієнт фази β , хвильове число k , глибину проникнення , довжину хвилі λ , фазову швидкість хвилі vф в провідному середовищі.

336

Задача 51 Плоска електромагнітна хвиля поширюється в міді, питома провідність якої γ = 57´106 Ом-1´м-1. Знайти фазові швидкості хвиль vф , хвильові опори Zхв і еквівалентні глибини проникнення хвиль із частотами f1 =50 Гц і f2 =106 Гц, якщо μ =1.

Знайти критичну довжину хвилі λкр10 , довжину хвилі у вільному просторі λ і довжину хвилі у хвилеводі Λ при частоті генератора f = 3´109 Гц. Чи може поширюватися хвиля типу H10 в даному хвилеводі? Обчислити фазову vф і групову vгр швидкості.

338

339

Задача 21 ϕ2 -ϕ1 =0,0235 В.

ϕ2 = 2π (γ1I1+ γ 2 )r . Задача 31 α2 =20¢.

Задача 32 B = 4μπ0 Ib (cosα1 - cosα2 ).

2(a2 + z2 )3/ 2

Задача 34 H =143,6 А/м.

340