Теорія поля / Посiбник
.PDF
261
конується або коли кожний доданок дорівнює нулю, або коли кожний доданок дорівнює якомусь поки що невідомому числу p (нехай перший доданок дорівнює + p , дру-
гий доданок дорівнює – p ), тобто: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¶ æ |
|
|
2 ¶M |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç r |
|
¶r |
÷ = 0 |
, |
|
|
|
|
(5.3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ¶r è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
¶ |
æ |
|
|
¶N ö |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çsinθ |
|
|
|
|
÷ |
= 0 , |
|
|
|
(5.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N sinθ ¶θ è |
|
|
¶θ ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¶ æ |
|
|
2 ¶M |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç r |
|
¶r |
|
÷ = p |
, |
|
|
|
|
(5.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ¶r è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
¶ |
|
æ |
|
|
|
¶N ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çsinθ |
|
|
|
|
÷ |
= - p . |
|
|
(5.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N sinθ ¶θ |
¶θ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Із |
|
розв'язання рівнянь |
|
|
(5.3) |
|
і |
|
(5.4) |
|
випливає, що |
||||||||||||||||||||||||
M |
1 |
= |
A1 |
+ A та N = A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
r |
2 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Використовуючи підстановку Ейлера і рівняння (5.5), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
отримаємо M |
|
= Crn , |
|
де n |
|
|
= - |
± |
|
1 |
+ p . Розв'язок рів- |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
няння (5.6) має такий вигляд: N2 |
|
= B cosθ , при підстановці |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
якого знаходимо, що |
|
p =2. Тут |
A1 , |
A2 , A3 , |
C і B – сталі |
||||||||||||||||||||||||||||||||
інтегрування. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Повний розв'язок рівняння Лапласа можна зобразити у |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= C1 + C |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ϕ = ϕ +ϕ |
2 |
= M |
N + M |
2 |
N |
2 |
2 |
+ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
r |
|
(5.7) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
C |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
+çC3r + |
r |
24 |
|
÷cosθ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Позначимо потенціал усередині кулі ϕi , поза кулею
ϕe .
262
Тоді потенціали для внутрішньої і зовнішньої областей кулі запишуться у такий спосіб:
ϕ |
i |
= |
|
C1i |
+ C |
2i |
+ |
æC |
r + |
C4i |
öcosθ , |
(5.8) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
ç |
3i |
|
|
|
r |
2 |
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|||||
ϕ |
e |
= |
C1e |
+ C |
2e |
+ |
æC |
|
r + |
C4e |
öcosθ . |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
ç |
3e |
|
|
r |
2 |
÷ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||
Сталі інтегрування C знаходять із граничних умов, які залежать від типу заданого поля (електричного або магнітного) і матеріалу кулі (діелектрик, магнетик, провідник).
Циліндр у зовнішньому однорідному полі (схема розв'я-
зання). Рівняння Лапласа в циліндричній системі координат із урахуванням нескінченності системи по осі z має вигляд [3]:
|
1 ¶ æ |
¶ϕ ö |
|
|
1 ¶2ϕ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ç r |
÷ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
(5.9) |
|
|
|
|
r |
2 |
|
¶α |
2 |
|
||||||||
|
r ¶r è |
¶r ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогічно |
до |
кулі розв'язок |
|
|
знайдемо у |
вигляді |
|||||||||||
ϕ = M (r) N (α ) , |
у |
результаті |
|
|
підстановки якого |
в (5.9) |
|||||||||||
отримуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
¶ æ |
¶M ö |
|
|
1 ¶2 N |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ç r |
|
÷ + |
|
|
|
|
|
|
2 = 0 . |
(5.10) |
||
|
|
|
|
|
¶r |
|
N ¶α |
||||||||||
|
M ¶r è |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||
У цьому рівнянні перший доданок залежить тільки від r , другий – від α , а їх сума дорівнює нулю. Ця умова виконується або коли кожний доданок дорівнює нулю, або коли кожний доданок дорівнює якомусь поки що невідомому числу p (нехай перший доданок дорівнює + p , дру-
гий доданок дорівнює – p ), тобто:
r |
¶ æ |
¶M ö |
|
|
1 |
¶2 N |
|
|
|||
|
|
|
ç r |
÷ |
= 0 , |
(5.11) |
|
|
2 |
= 0 , |
(5.12) |
|
|
|
N ¶α |
||||||||
M ¶r è |
¶r ø |
|
|
|
|
|
|||||
r |
¶ æ |
¶M ö |
|
|
1 |
¶2 N |
= - p . |
|
|||
|
|
|
ç r |
÷ |
= p , |
(5.13) |
|
|
2 |
(5.14) |
|
|
|
|
N ¶α |
||||||||
M ¶r è |
¶r ø |
|
|
|
|
|
|||||
263
Із рівняння (5.11) отримуємо, що M1 = A1 ln r + A2 , із (5.12) отримуємо, що N1 = A3 .
Із |
рівняння (5.13) |
отримуємо, |
що |
M2 = Crn , де |
||
n1,2 = ± |
|
|
. Розв'язок |
рівняння |
(5.14) |
має вигляд |
|
p |
|||||
N2 = B cosα , звідки p =1. Тут A1 , A2 , A3 , C і B – сталі інтегрування.
Тоді повний розв'язок рівняння Лапласа можна навести у вигляді
ϕ = ϕ1 +ϕ2 = M1N1 + M2 N2 = C1 ln r + C2 +
æ |
C |
|
ö |
(5.15) |
+çC3r + |
|
4 |
÷cosα. |
|
è |
r |
ø |
|
|
Позначимо потенціал усередині циліндра ϕi , поза циліндром ϕe .
Тоді потенціали для внутрішньої і зовнішньої областей
ϕ |
i |
= C |
ln r + C |
2i |
+ |
æC |
r + |
C4i |
öcosα , |
(5.16) |
|||||
|
|
||||||||||||||
|
|
1i |
|
|
ç |
3i |
|
|
|
r |
÷ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
||
ϕ |
e |
= C |
ln r + C |
2e |
+ |
æC |
|
r + |
C4e |
öcosα . |
|
||||
|
|
|
|||||||||||||
|
1e |
|
|
ç |
3e |
|
|
r |
÷ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
||
Сталі інтегрування C знаходять із граничних умов і залежать від того, з якого матеріалу виготовлений циліндр.
Граничні умови для кулі і циліндра
1 Для діелектричних і магнітних куль (циліндрів) зручно потенціал на початку координат взяти таким, що дорівнює нулю (ϕr=0 = 0 ).
2 Заряд кулі Q на нескінченності ( r → ∞ ) сприймається як точковий заряд ϕ0 = 4πεQar - Er cosθ , а заряджений
циліндр – як заряджена вісь ϕ0 = 2πετ a ln r - Er cosα .
264
3 На поверхні провідної незарядженої кулі (циліндра) потенціал безперервний (поверхня еквіпотенціальна
ϕr=R = const ): ϕ1(r=R) = ϕ2(r=R) або E1τ = E2τ ( H1τ = H2τ ).
4 На границі поділу діелектричних середовищ нор-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мальні |
складові |
вектора |
D |
безперервні: |
D1n |
= D2n , |
|||||||||||||||||||||
ε |
|
¶ϕ1 = ε |
|
¶ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
||||||
1 |
2 |
|
(із урахуванням заданої поляризованості P |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶r |
|
|
¶r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
кулі D |
= ε |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
E2 |
+ P ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1n |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 На границі поділу провідних середовищ нормальні |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶ϕ1 = γ |
|
¶ϕ2 |
|
||
складові вектора δ безперервні: δ |
1n |
= δ |
2n |
, |
γ |
1 |
2 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶r |
|
¶r |
||||||
|
|
|
6 На границі поділу магнітних середовищ нормальні |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
складові |
|
|
|
|
вектора |
|
B |
дорівнюють: |
B1n |
= B2n , |
|||||||||||||||||
μ |
|
∂ϕ1м |
= μ |
|
∂ϕ2 м |
(ϕ |
м |
– магнітний потенціал поля з ураху- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
¶r |
|
|
|
2 |
¶r |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ванням заданої намагніченості M кулі B1n |
= μ0 H 2 + μ0 M ). |
||||||||||||||||||||||||||
З урахуванням граничних умов 1-6 загальні розв'язки (5.8) і (5.16) для конкретних об'єктів будуть мати такий вигляд.
1. Якщо куля діелектрична, то потенціал на нескінченності ϕ = ϕ0 + E0r cosθ , звідси
ϕ |
e |
= ϕ |
0 |
+ |
æ E r + |
C4e |
öcosθ |
. ϕ |
i |
= ϕ |
0 |
+ C |
r cosθ . |
|||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
ç 0 |
|
r |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Із граничних умов (при r = R ) ϕi = ϕe |
і D1n = D2n зна- |
|||||||||||||||||||
ходимо, що C |
|
= E |
3εe |
|
, C |
|
= R3E |
|
|
εe |
−εi |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3i |
0 2εe + εi |
|
4e |
|
|
0 2εe + εi |
|||||||||||
Тоді ϕi = ϕ0 + E0r 2ε3eε+e εi cosθ = ϕ0 + E0 2ε3eε+e εi z ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
265 |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
R3 (εe |
-εi ) ö |
|||
|
|
ϕ |
|
= ϕ |
|
+ E |
ç r + |
|
|
|
|
÷cosθ . |
|
|
e |
0 |
|
2 |
(2εe |
|
|||||
|
|
|
|
0 |
ç |
r |
÷ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
+ εi ) ø |
|||
|
|
2. Якщо куля провідна, |
але не заряджена, то ϕi = ϕ0 . |
|||||||||
C |
4e |
= -E R3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
R3 |
ö |
|
e0 0 ç r2 ÷
èø
3.Якщо провідна куля заряджена, то ϕi = ϕ0 .ϕ = ϕ + E r - cosθ .
|
|
|
|
|
|
ϕ |
e |
= |
|
Q |
|
|
|
+ϕ |
|
|
+ E |
|
æ r - |
R3 |
öcosθ . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πεar |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ç |
|
|
|
r |
2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Для опису магнітного середовища замість потенціалу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ використовують скалярний магнітний потенціал ϕм . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Знаючи ϕ , нескладно визначити напруженість поля |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
E = - ∂ϕi , E = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
- |
¶ϕe |
ö2 |
|
|
æ - |
1 ¶ϕe |
ö2 . |
||||||||||||||||||||||||
E2 + E2 |
= |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
¶z |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
¶ r |
|
|
|
|
ç |
|
r ¶θ |
÷ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
ø |
|
||||||||||||
|
4. Якщо циліндр діелектричний, то потенціал на не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скінченності ϕ = ϕ0 + E0r cosα , звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ϕ |
e |
= ϕ |
0 |
+ |
æ E r + |
C4e |
|
öcosα , ϕ |
i |
|
= ϕ |
0 |
+ C |
r cosα . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
|
|
|
|
r |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Із граничних умов (при r = R ) ϕi |
= ϕe |
і D1n |
= D2n зна- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ходимо, що C |
|
|
|
= E |
|
2εe |
|
|
; |
C |
|
|
= R2 E |
εe −εi . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
0 εe + εi |
|
|
|
|
|
|
4e |
|
|
|
|
|
|
0 εe + εi |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Тоді ϕ |
|
= ϕ |
|
+ E r |
|
2εe |
|
|
|
cosα = ϕ |
|
|
+ E |
|
|
2εe |
|
z , |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
εe + εi |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 εe +εi |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ϕe = ϕ0 + E0 |
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(εe -εi ) |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç r + R |
|
÷cosα . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
r |
(εe + εi ) |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
266
|
|
5. Якщо |
циліндр провідний, але незаряджений, то |
|||
ϕ |
i |
= ϕ |
0 |
. C |
4e |
= -E R2 . |
|
|
|
0 |
|||
æR2 ö
e0 0 ç r ÷
èø
6.Якщо провідний циліндр заряджений, то ϕi = ϕ0 .+ Eϕ = ϕ r - cosα .
ϕ |
e |
= |
τ |
ln r +ϕ |
|
+ E |
æ r - |
R2 |
öcosα . |
|
0 |
|
|||||||
|
|
2πεa |
|
0 |
ç |
r |
÷ |
||
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
Для опису магнітного середовища замість потенціалу ϕ використовують скалярний магнітний потенціал ϕм .
Знаючи ϕ , нескладно визначити напруженість поля
|
∂ϕi , E = |
|
|
|
æ |
|
¶ϕe |
ö2 |
|
æ |
|
¶ϕe ö2 . |
||
E = - |
E2 |
+ E2 |
= |
- |
+ |
- |
||||||||
ç |
|
÷ |
ç |
|||||||||||
i |
¶z |
e |
r |
α |
|
|
¶ r |
|
|
÷ |
||||
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
è |
|
¶α ø |
|||
Аналізуючи отримані вище співвідношення для потенціалів куль і циліндрів із урахуванням конкретних граничних умов, можна зробити узагальнюючі висновки стосовно досліджуваних об'єктів.
1.У діелектричних кулі та циліндрі з діелектричною проникністю більшою, ніж діелектрична проникність середовища, результуюче поле менше від зовнішнього поля. Це пояснюється тим, що поле зв'язаних зарядів усередині тіла спрямоване назустріч зовнішньому полю. Таке поле зв'язаних зарядів називають деполяризуючим. Деполяризуюче електричне та результуюче поля в кулі і циліндрі є однорідними тільки в діелектричному еліпсоїді, кулі і циліндрі.
2.Вирази для потенціалу усередині та поза кулею (циліндром), а також для напруженості зовнішнього електричного поля в діелектрику і магнітного поля у феромагнетику аналогічні. Перехід від одного виразу до іншого може бути здійснений заміною відповідних величин, виходячи із аналогії рівнянь полів (див. п. 2.5). Наприклад, напруженість
267
поля усередині діелектричної кулі із проникністю ε1 , по-
→
міщеної в однорідне електричне поле напруженістю E0 в
середовищі із проникністю ε2 , Ei = 3ε2 E0 , а усередині
ε1 + 2ε2
кулі в магнітному полі Hi |
= |
|
3μ2 |
H0 . |
|
μ1 |
+ 2μ2 |
||||
|
|
|
3. Задачу про магнітну кулю і циліндр, внесені в однорідне магнітне поле, розв'язують, використовуючи аналогію рівнянь із рівняннями електростатичного поля (див. п. 2.5). Намагнічування магнітної кулі також отримують однорідним. При внесенні магнітної кулі в однорідне магнітне поле напруженість магнітного поля усередині кулі обумовлена намагніченістю кулі, спрямована назустріч напруженості зовнішнього поля. Таке поле називають полем, що розмагнічує. При цьому результуюче магнітне поле усередині кулі менше від зовнішнього поля.
Розв'язок рівняння Гельмгольца для H -хвилі в прямо-
кутному хвилеводі. Рівняння Гельмгольца для H -хвилі
|
|
∙ |
|
∙ |
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
Ñ2 |
H z +ω2εa |
μa H z = 0 . |
(5.17) |
||
|
|
|
∙ |
(x, y, z,t) |
∙ |
|
Підставивши значення H z |
= H z (x, y)e j(ωt−kp z) і |
|||||
здійснивши диференціювання по z , отримаємо |
|
|||||
∙ |
¶2 |
∙ |
( 2 |
2 ) ∙ |
|
|
¶2 H z |
H z |
|
||||
¶x2 |
+ ¶y2 |
+ ω εa μa - kp |
H z = 0 , |
(5.18) |
||
де ω2εa μa = k2 .
Тоді рівняння (5.17) перетвориться у двовимірне диференційне рівняння такого вигляду:
¶2 |
∙ |
¶2 |
∙ |
( 2 |
2 ) ∙ |
|
H z |
H z |
|
||||
¶x2 |
+ ¶y2 |
+ k |
- kp H z = 0 . |
(5.19) |
||
268
Скористаємося методом розділення змінних і зобрази-
∙
мо H z у вигляді добутку двох незалежних функцій:
∙
H z (x, y) = X (x)Y ( y).
Підставивши (5.20) в (5.19), маємо
1 ∂2 X |
|
1 ∂2Y |
|
2 |
2 |
||
|
∂x2 |
+ |
|
∂y2 |
+ (k |
|
− kp ) = 0 . |
X |
Y |
|
|||||
(5.20)
(5.21)
Позначимо k2 − kp2 = kx2 + ky2 , де kx і ky за аналогією із
поздовжніми хвильовими числами називаються поперечними хвильовими числами.
Таким чином, одержуємо два незалежні рівняння:
1 ∂2 X |
= −k2 |
, |
1 ∂2Y |
= −k2 . |
||||
|
|
|
|
|
||||
X ∂ x2 |
Y ∂ y2 |
|||||||
x |
|
y |
||||||
Загальний розв'язок цих рівнянь має такий вигляд:
|
|
∙ |
|
|
|
H z = jH0 cos(kx x +ϕx )cos(ky y +ϕy ), |
(5.22) |
де H0 = |
E0 |
– задана амплітуда поля; |
|
|
|
||
|
Zc |
|
|
kx , ky ,ϕx , ϕy – сталі інтегрування, які знаходять із граничних умов на стінках прямокутного хвилеводу (див. п. 3.4).
5.5 Метод дзеркальних зображень
Для розрахунків електростатичних полів, особливо обмежених якою-небудь провідною поверхнею правильної форми або в яких є геометрично правильної форми границя між двома діелектриками, широко застосовують метод дзеркальних зображень. Це штучний прийом розрахунків, у якому, крім заданих зарядів, уводять ще додаткові заряди, величини і місце розміщення яких вибирають так, щоб задовольнити граничні умови у полі. Якщо границя між двома середовищами плоска, то додаткові («фіктивні») за-
269
ряди поміщають територіально там, де перебувають дзеркальні (у геометричному змісті) відображення заданих зарядів. Метод дзеркальних зображень застосовують не тільки для розрахунків електростатичних полів, але й для розрахунків електричних полів у провідному середовищі та магнітних полів постійного струму. Обґрунтуванням методу і правильності розв'язку є теорема одиничності розв'яз-
ку (див. п. 1.1).
Розглянемо два приклади на метод дзеркальних зображень.
Система «провідне середовище-діелектрик». Якщо в діелектричному середовищі із діелектричною проникністю ε помістити точковий заряд (заряджену нитку), то вільні електрони провідного середовища будуть рухатися у бік (або в протилежний бік) цього заряду (явище електростатичної індукції). У результаті електричне поле в діелектрику буде дорівнювати сумі електричного поля, створеного точковим зарядом, і поля, створеного вільними електронами провідного середовища.
Нехай у діелектричне середовище поміщений заряд q
q |
|
|
|
на відстані |
h |
від поверхні про- |
||
|
|
|
відного середовища. Тоді для |
|||||
|
|
h |
визначення електричного поля в |
|||||
|
|
|||||||
ε |
|
діелектричному середовищі з ε |
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(у провідному середовищі елек- |
||||
|
|
|
|
|||||
ε |
|
|
|
|||||
|
h |
тричне |
поле |
дорівнює нулю) |
||||
|
||||||||
|
|
провідне середовище заміняють |
||||||
-q |
|
|
|
|||||
|
|
|
діелектричним із такою ж про- |
|||||
Рисунок 5.1 – |
никністю ε |
і |
вводять додатко- |
|||||
вий «уявний» заряд q тієї самої |
||||||||
Метод |
дзеркальних |
величини, але протилежний за |
||||||
відображень для сис- |
||||||||
знаком, |
розміщений дзеркально |
|||||||
теми |
«діелектрик- |
|||||||
на відстані |
h |
від поверхні поді- |
||||||
провідник» |
||||||||
лу (рис. 5.1). |
Поле в будь-якій |
|||||||
|
|
|
|
|||||
270
точці діелектрика буде дорівнювати векторній сумі поля фактичного і «уявного» зарядів.
Розглянемо застосування методу дзеркальних зображень для системи «діелектрик-діелектрик». Нехай у діелектрику з діелектричною проникністю ε1 на відстані h
від поверхні поділу перебуває заряд q1 (рис. 5.2 а). Необ-
хідно визначити поле в одному із діелектриків. Для розв'я- зання цієї задачі має важливе значення те, у якому із діелектриків – з ε1 або з ε2 – необхідно визначити поле.
Розглянемо два випадки.
Нехай необхідно визначити поле в діелектрику з ε1 , де перебуває заряд q1 . Тоді діелектрик із ε2 заміняють на діелектрик з ε1 і в діелектрику з ε2 вводять додатковий «уявний» заряд q2 , розміщений дзеркально на відстані h від
поверхні поділу (див. рис. 5.2 б). Причому
q2 = ((ε1 −ε2 )) q1 . ε1 + ε2
Тоді поле в будь-якій точці діелектрика, у якому перебуває заряд, буде дорівнювати векторній сумі поля фактичного q1 та «уявного» q2 зарядів.
Нехай необхідно визначити поле в діелектрику з ε2 , у якому відсутній заряд q . Тоді діелектрик із ε1 заміняють на діелектрик з ε2 , а заряд q1 заміняють на заряд q3 , розміщений у тому ж місці, де і q1 (див. рис. 5.2 в). Причому
q3 = ( 2ε2 ) q1 . ε1 + ε2
Тоді поле в будь-якій точці діелектрика з ε2 буде визначатися полем, створеним зарядом q3 .