Теорія поля / Посiбник

Рисунок 5.2 – Метод дзеркальних зображень для системи діелектрик-діелектрик:

а – вихідне завдання; б – визначення поля в діелектрику з ε1 ;

в – визначення поля в діелектрику з ε2

Абсолютно ідентичне застосування методу дзеркальних зображень і у випадку поля, створеного зарядженою ниткою. Тільки в цьому разі замість поля заряду q визна-

чається поле зарядженої нитки τ .

Метод дзеркальних зображень застосовують не тільки для розрахунків електростатичних полів, але й для розрахунків електричних полів у провідному середовищі та магнітних полів.

У випадку електричного поля постійного струму визначається електричне поле, створене не зарядом q , а струмом I , і замість діелектриків з діелектричними проникностями ε1 і ε2 розглядаються провідні середовища з

питомими провідностями γ1 і γ 2 .

У випадку магнітного поля постійного струму визначається результуюче магнітне поле, створене додатковими струмами I2 та I3 :

272

5.6 Конформне перетворення (відображення) плоскопаралельних полів

Перетворення двовимірного плоскопаралельного поля, яке задовольняє рівняння Лапласа ( ∂2ϕ / ∂x2 + ∂2ϕ / ∂y2 = 0 ) у комплексній площині z = x + jy , справедливе і для комплексної площини w = u + jv , де одержують більш просте поле. Залежність w(z) встановлює зв'язок між точками

площини Z і точками площини W . При цьому будь-яка нескінченно мала фігура на площині Z переходить у подібну нескінченно малу фігуру на площині W . Тому кути між пересічними кривими зберігаються. При цьому коефіцієнт лінійного розтягання (стиску) довільного нескінченно малого відрізка дорівнює модулю похідної dw / dz , а кут

повороту відображення w(z) в точці z – аргументу цієї

похідної. Таке відображення називають конформним.

Для здійснення конформного відображення необхідно і достатньо, щоб відображувана функція w(z) була аналі-

тичною, однозначною, а похідна dw / dz усередині області ніде не перетворювалася в нуль.

При конформному перетворенні залишаються незмінними потенціал електродів, сумарні заряди, зосереджені на електродах, ємності електродів і загальна енергія поля. Конфігурація і лінійні розміри електродів, напруженість поля і густина зарядів на електродах змінюються.

При розв'язанні задач методом конформного перетворення основною невідомою функцією є комплексний по-

тенціал – це комплексна функція w(z) = u (x, y) + jv(x, y) ,

273

поля. За допомогою функції w(z) здійснюється перетворення поля із площини z (x, y) на площину w(u, v) , де ка-

ртина поля спрощується. Значення комплексного потенціалу дозволяє одержати картину поля і всі величини, які характеризують досліджуване поле: напруженість, енергію, ємність, індуктивність та ін. При цьому для комплексного потенціалу повинні виконуватися такі умови:

– у кожній точці заданої області комплексний потенціал повинен бути однозначною функцією, маючи кінцеву і безперервну похідні, які не повинні перетворюватися в нуль (для цього необхідні і достатні умови ∂u / ∂x = ∂v / ∂y і

∂u / ∂y = −∂v / ∂x );

–задовольняти рівняння Лапласа;

–дійсна і уявна частини – ортогональні, тому залежно від завдання одну із частин комплексного потенціалу, наприклад уявну частину, можна вважати потенційною функцією, а дійсну зобразити як потік вектора напруженості поля.

Таким чином, визначення плоскопаралельного поля, створеного двома електродами відомої форми, методом конформного перетворення зводиться до відшукання такої

функції w(z) = u (x, y) + jv(x, y) або в полярних координатах w(z) = r ×e jα , за допомогою якої можливо здійснити конформне відображення області Dz на площині Z із шуканим комплексним потенціалом на області Dw площини

W з відомим комплексним потенціалом (або на якій комплексний потенціал легко розрахувати). Спільного методу

знаходження функції w(z) для будь-якої форми електро-

дів немає. Серед найпоширеніших відзначимо такі методи перетворення плоскопаралельних полів із застосуванням комплексного потенціалу [1-3]:

274

–метод заданого комплексного потенціалу;

–метод перетворення областей у канонічні;

–метод відображення за допомогою інтеграла Крістофеля – Шварца.

Як приклад проаналізуємо комплексну функцію вигля-

ду w = Az = Aln (r ×e jα ) і визначимо конформне перетво-

рення яких полів здійснюється цією функцією.

Перетворимо задану функцію r ×e jα , виділивши уявну і дійсну частини:

няння силових ліній буде мати вигляд v = Aα = const (рівняння радіальних прямих), а модуль напруженості електричного поля запишеться у такий спосіб:

E∙ = dw(z) = A . dz r

Задана функція здійснює перетворення поля одиночного провідника круглого перерізу. Стала інтегрування A визначається за граничною умовою.

5.7 Приклади розв'язання задач

Теорема Гауса

Приклад 1 Визначити напруженість і потенціал електричного поля провідної рівномірно зарядженої кулі: заряд кулі Q радіус – a .

Розв'язок. Оскільки куля провідна, то усередині кулі поле відсутнє: E = 0 при r < a .

На поверхні кулі рівномірно розподілений сумарний заряд Q .

При r ³ a задача зводиться до прикладу 1, у результаті чого маємо:

Сталі інтегрування C1 та C2 визначаються із граничних умов: ϕ2 = 0 при r ®¥; ϕ1 = ϕ2 при r = a . У результаті отримаємо, як і для попередньої задачі, C2 =0.

У результаті потенціал усередині кулі буде описуватися такою функцією:

280

Для області r < R1 струм усередині контуру I =0, отже,

H1 =0.

Для області R1 < r < R2

δ = π (R22I- R12 ) ,

Ñò dS = S2 = π (R22 - R12 ) – площа кільця шириною R2 - R1 .

труби поле відсутнє, у тілі труби і поза трубою поле змінюється за законом 1/ r зі збільшенням абсолютного значення H у першому випадку і зменшенням його у другому випадку.

Приклад 3 По внутрішньому провіднику коаксіального кабелю радіуса R1 і зовнішньому провіднику товщиною

R3 - R2 в протилежних напрямках проходить постійний струм I (рис. 5.7). Визначити напруженість магнітного