- •Содержание программы
- •V.Дифференцируемые функции одной переменной. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
- •VI.Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке. Экстремумы функции.
- •XIII. Формула и ряд Тейлора.
- •XIV. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.
- •XV. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
- •XVI.Определение и свойства степени. Степенная функция.
- •XVII.Показательная функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд.
- •XVIII. Логарифмическая функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд.
- •XIX.Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд.
- •Литература
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
- •III. Группы. Свойства групп. Подгруппы.
- •Дополнительная литература
- •Примерные типы задач по элементарной математике для Государственного экзамена.
XIII. Формула и ряд Тейлора.
1.Формула Тейлора для произвольной функции с дополнительным (остаточным) членом в одной из форм. Формулы Тейлора для функций: ex,sinx,cosx,ln(1+x), (1+x)α.
2.Понятие разложимости функции в степенной ряд. Единственность разложения функции в степенной ряд. Понятие ряда Тейлора. Необходимое условие разложимости функции в ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора .
Литература: [5], [9], [12].
XIV. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Примеры.
Понятие решения, общего решения дифференциального уравнения. Начальные условия, частные решения. Примеры.
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка и его решения: поле направлений, интегральные кривые. Примеры.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и их решение. Примеры.
Понятие линейного уравнения первого порядка. Однородные и неоднородные уравнения. Решение линейного уравнения первого порядка. Примеры.
Литература: [с] [7].
XV. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами, их применение к изучению свободных колебаний.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений однородного линейного уравнения второго порядка. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения второго порядка.
Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их решение .
Применение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к изучению свободных колебаний
Литература: [6], [7].
XVI.Определение и свойства степени. Степенная функция.
1.Степень с натуральным и целым показателем: определение, основные свойства. Степенная функция с натуральным и целым показателем и ее основные свойства.
2.Существование корня n-ой степени. Степень с рациональным показателем и ее основные свойства.
3.Степенная функция с рациональным показателем: определение и основные свойства (область определения, монотонность, непрерывность, дифференцируемость).
4.Существование степени с иррациональным показателем (с обоснованием).
5. Степенная функция с действительным показателем.
Литература: [1], [2], [9], [12].
XVII.Показательная функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд.
Показательная функция в действительной области: определение, свойства, график.
Разложение в степенной ряд .
Литература: [1], [2], [5],[9], [12].
XVIII. Логарифмическая функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд.
1.Определение логарифмической функции действительной переменной как обратной к показательной. Основные свойства и графики.
2.Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд.
Литература: [1], [2], [5], [9], [12].
XIX.Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд.
1.Определение тригонометрических функций: синуса и косинуса. Их основные свойства.Cвойства непрерывности и дифференцируемости.
2.Разложение функций синуса и косинуса в степенной ряд
Литература: [1], [2], [5], [9], [12].