МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики

Кафедра математического анализа

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

_____________ В.И. Васильев

« ___ » ______________ 2010 г.

__________________________

(дата дополнений и изменений)

___________________________

___________________________

ПРОГРАММА

ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

Направление 050000 – Образование и педагогика

Специальность 050202 – «Информатика» с дополнительной специальностью «Математика»

Факультет Математики и информационных технологий

Форма обучения очная

Курс 5

Семестр 10

Курган 2010

Программа составлена:

- с учетом требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности Информатика с дополнительной специальностью «Математика» 050202; № гос. регистрации 662 пед/СП. От 31.01.05 г.;

- в соответствии с учебным планом подготовки специалистов по специальности 050202 «Информатика» с дополнительной специальностью «Математика», утвержденного ученым советом университета 03.02.2006.

Программа утверждена на заседании кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания математики «26» октября 2009 г. (протокол №2).

Заведующий кафедрой алгебры,

геометрии и методики преподавания

математики

канд. ф.-м. наук, ____________/О.Н. Шатных/

Заведующий кафедрой

математического анализа

доцент, канд. ф.-м. наук, __________/М.В. Гаврильчик/

Программу составили:

канд. ф.-м. наук, ____________/О.Н. Шатных/

доцент, канд. ф.-м. наук, __________/М.В. Гаврильчик/

Согласовано:

Декан факультета математики

и информационных технологий

канд. пед. наук, доцент ____________/А.Т. Зверева/

Инженер Центра качества __________/О.В. Шередекова/

Руководитель Центра качества

доцент, канд. т. наук __________/С.В. Хрипунов/

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Основной целью государственного экзамена по математике является выявление уровня математической культуры выпускников и их подготовленности к преподаванию математики в общеобразовательной школе.

В соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования выпускник должен

- знать роль и место математики в системе наук; обосновать фундаментальный и прикладной характер математики;

- владеть системой основных математических структур и аксиоматическим методом;

- владеть методологией построения математических моделей (дискретных и непрерывных, вероятностных и детерминированных); знать конкретные математические модели в экономике, экологии, социологии, психологии;

- владеть конкретными численными методами решения задач на ЭВМ.

Основная задача государственного экзамена - закрепить теоретические знания и практические навыки по дисциплине специализации.

В соответствии с основной задачей государственного экзамена программа включает в себя основные и наиболее важные вопросы курсов «Математический анализ», «Алгебра и теория чисел» и «Геометрия», раскрывает содержание каждой темы, определяет требования к ответу студента на государственном экзамене по тому или иному вопросу.

Государственный экзамен по дисциплине «Математика» проводится в устной форме. Студент получает билет, состоящий из двух теоретических вопросов по разным курсам и одной задачи. На подготовку студенту отводиться не менее полутора часов.

Специалист должен свободно ориентироваться в основных разделах фундаментальных математических дисциплин, что включает:

- в области математического анализа — множество действительных чисел, функции одного переменного (предел, непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление, задачи на экстремум), числовые последовательности и ряды;

- в области алгебры и теории чисел — основные структуры современной алгебры (группы, кольца, поля), группы преобразований, комплексные числа и многочлены, матричную алгебру и решение систем линейных уравнений, линейные пространства;

• в области геометрии — векторы, линейную зависимость, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, уравнения прямой линии на плоскости, уравнения плоскости, линии второго порядка, аффинные и изометрические преобразования плоскости и пространства, плоские сечения, аффинную классификацию, изображение фигур при параллельном проектировании;

- в области дифференциальных уравнений — понятие дифференциального уравнения, элементарные приемы интегрирования, задачу Коши.

Оценку «неудовлетворительно» студент получает, если он не может сформулировать и доказать основные положения предлагаемой темы. Оценка «удовлетворительно» ставится в том случае, если студент ответил на 2/3 билета. Если при ответе студент сформулировал и доказал основные положения, но допустил вычислительные ошибки или не доказал вспомогательные утверждения, то ему ставится оценка «хорошо». В том случае, если студент сформулировал все основные определения, сформулировал и доказал основные и вспомогательные предложения и правильно решил задачу он получает оценку «отлично».

В программе приведен список обязательной литературы, которая должна быть изучена выпускниками при подготовке к государственному экзамену.

Содержание программы

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

I. Аксиоматическое построение теории действительных чисел.

1. Множество рациональных чисел Q. Изображение рациональных чисел на прямой. Действия над рациональными числами.

2. Перевод обыкновенных дробей в десятичные и бесконечных периодических в обыкновенные.

3. Необходимость расширения Q. Доказать теорему: не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.

4. Аксиоматическое определение R.

Литература[1], [2].

II. Числовые функции.

1. Определение числовой функции. Область определения функции, множество значений. Примеры. График функции.

2. Классификация функций по аналитическим выражениям: а)целые рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, алгебраические, трансцендентные; б) элементарные и неэлементарные.

3. Классификация функций по свойствам: ограниченность, четность, периодичность, монотонность.

Литература: [1], [2], [9], [12].

III.Предел функции в точке.

1. Понятие предельной точки множества. Определение предела функции в точке на “языке последовательностей”, на “языке ε - δ”. Геометрический смысл понятия предела функции в точке.

2. Теоремы о пределах суммы, произведения и частного функций, имеющих пределы.

3. Замечательные пределы. Примеры.

4. Основные виды неопределенностей и методы их раскрытия. Примеры.

Литература: [1], [2], [9], [12].

IV.Непрерывность функции в точке. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. Определение непрерывности функции в точке. Примеры непрерывных функций.

2. Теоремы о непрерывности в точке суммы, произведения и частного функций, непрерывных в точке.

3. Определение непрерывности функции на множестве. Теоремы:

- об ограниченности функции, непрерывной на отрезке;

• о достижении функцией, непрерывной на отрезке, верхней и нижней граней;

• об обращении функции в нуль;

• о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.

4. Применение теорем об обращении функции в нуль и о промежуточных значениях к решению уравнений и неравенств, для приближенного вычисления корней уравнений.

Литература: [1], [2], [9], [12].

V.Дифференцируемые функции одной переменной. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.

1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной функции в точке. Примеры. Геометрический и механический смысл понятия производной функции в точке.

2. Определение дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Геометрический смысл дифференцируемости функции в точке. Связь непрерывности и дифференцируемости функции в точке (обосновать).

3. Производная суммы, произведения и частного функций, имеющих производные.

Литература: [3], [9], [12].

VI.Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке. Экстремумы функции.

1. Теоремы о среднем: теорема Ферма, Ролля, Лагранжа. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

2. Необходимое и достаточное условие постоянства функции .

3. Монотонные функции. Достаточное условие строгой монотонности функции на промежутке. Примеры.

4. Понятие экстремума функции. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума функции. Примеры.

Литература: [3], [9], [12].

VII. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям.

1. Определение первообразной функции. Примеры. Основное свойство первообразной .

2. Неопределенный интеграл, геометрический смысл неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

3. Интегрирование по частям и заменой переменной (с выводом). Примеры.

Литература: [4], [9], [12].

VIII.Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Определение и обозначение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Примеры.

Литература: [4], [9], [12].

IX. Понятие площади плоской фигуры. Приложение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры.

1. Определение квадрируемой фигуры.

2. Необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры.

3. Доказать квадрируемость криволинейной трапеции, вывести формулу для вычисления ее площади.

Литература: [4], [9], [12].

X. Приложение определенного интеграла к вычислению объема тела вращения.

1. Кубируемые тела. Вывести формулы для вычисления объема тела по площадям параллельных сечений и объема тела вращения.

2. Связь со школьным курсом математики: вычисление объема цилиндра, шара, конуса, усеченного конуса, пирамиды.

XI. Приложение определенного интеграла к вычислению длины дуги кривой.

1. Определение спрямляемой кривой, определение длины дуги кривой.

2. Вычисление длины дуги гладкой кривой в декартовых координатах. Длина дуги окружности.

Литература: [4], [9], [12].

XII. Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

1. Понятие числового ряда. Частичная сумма ряда. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Геометрический ряд. Необходимое условие сходимости ряда .

2. Необходимое и достаточное условие сходимости рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости положительных рядов: признак сравнения, Даламбера, интегральный.

3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. Применение теоремы Лейбница для приближенного вычисления сумм рядов. Абсолютная и условная сходимость. Примеры. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Литература: [5], [9], [12].