Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МатАн_ЛинАлг_080100 / ЗаданияСР_ЛА_080100.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
483.32 Кб
Скачать

Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

3.1. Вопросы для самостоятельного изучения

3.1.1. Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

a11 x + a12 y + a13 z =b1,a21x + a22 y + a23 z =b2 ,a31x + a32 y + a33 z =b3

находится по формулам:

x = x , y = y , z = z ,

где

 

a11 a12 a13

 

b1

a12

a13

 

 

a11

b1

a13

 

 

a11

a12

b1

 

=

a21

a22

a23

x =

b2

a22

a23

,

y =

a21

b2

a23

,

z =

a21

a22

b2

.

 

a31

a32

a33

 

b3

a32

a33

 

 

a31

b3

a33

 

 

a31

a32

b3

 

Данные формулы для решения системы называются формулами Крамера (правилом Крамера). Оно (правило) распространяется на систему n линейных уравнений с n неизвестными.

3.1.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

a11x + a12 y + a13 z =b1,a21 x + a22 y + a23 z =b 2 ,a31 x + a32 y + a33 z =b3.

Составим три матрицы:

a11

a12

a13

 

 

A = a

a

a

 

– матрица системы;

21

22

23

 

 

a

a

a

 

 

31

32

33

 

 

x

X= y – матрица-столбец решений,

z

10

b1

B = b2 – матрица-столбец свободных членов.

b3

Систему уравнений, используя введенные матрицы, можно записать в матричной форме

a11

a21a31

a12 a13

 

x

b1

 

a

a

 

y

 

= b

2

 

22

23

 

 

 

 

 

a

a

 

z

 

b

3

 

32

33

 

 

 

 

 

или коротко AX = B .

Предположим, что матрица системы А невырожденная, т.е. A 0 . Тогда существует обратная матрица А1 , на которую умножим левую и правую часть

уравнения A1 AX = A1B .

 

 

Так как A1 А= E , E Х = Х , то получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X = A1B .

 

Матричный метод решения системы линейных уравнений:

1)

выписать матрицы А, B, Х и

систему уравнений в матричной форме

 

AX = B ;

и найти матрицу А1 ;

2)

найти

 

A

 

, убедиться, что

 

A

 

0

 

 

 

 

3)найти матрицу – столбец решений по формуле X = A1B , выписать значения x, y, z .

3.1.3. Метод Гаусса

Были рассмотрены два метода решения системы линейных уравнений: метод Крамера, матричный метод. Они применяются к системам, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Рассмотрим ещё один метод – метод Гаусса (метод исключения неиз-

вестных) решения системы m линейных уравнений с n неизвестными

 

a x + a x +…+ a x = h

1

,

 

 

 

 

11 1

12 2

1n n

 

 

 

,

 

 

a x

+ a x

+…+ a x

= h

 

 

(1)

 

21 1

22 2

2n n

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

+ a x

+…+ a x

 

= h

m

,

 

 

m1 1

m2 2

mn n

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

причем возможны случаи n = m, n < m, n > m .

Две системы называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

3.1.4. Метод Гаусса решения системы (1).

1)Составить расширенную матрицу А, добавив к основной матрице А столбец свободных членов

 

 

a11 a12

a1n

 

h1

 

 

 

 

 

 

a

a

 

a

 

h

 

 

A =

21

 

22

2n

 

 

2

.

 

 

 

… …

… …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1 am2

amn

 

h m

 

 

 

2) С помощью элементарных преобразований привести матрицу А к треугольному виду

 

 

b11 b12

… … … b1n

 

g1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

b

… … … b

 

g

2

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… … … … … …

 

 

 

 

A ~

0

0

b

kk

b

 

g

k

 

= B .

 

 

 

 

 

 

 

kn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… … … … … …

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)Составить систему линейных уравнений с расширенной матрицей B , которая равносильна системе (1). Найти из этой системы последовательно

xk , xk1, xk2 ,, x2 , x1 – решения заданной системы.

Вопрос о существовании решения системы (1) рассмотрен в следующей теореме.

3.1.5. Теорема Кронекера–Капели

Система линейных уравнений (1) имеет решение (система совместная),

если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы r( A) = r( A) ,

причем:

1)если r( A) = r( A) = n , то система имеет единственное решение;

2)если r( A) = r( A) < n , то система имеет множество решений.

12