РАЗДЕЛ. III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Название

Уравнение

Смысл

Геометрическое

уравнения

параметров

изображение

1. Каноническое

x − x0

=

y − y0

M0 (x0 , y0 ) – точ-

y

уравнение

пря-

m

n

y0

M0

ка на прямой,

мой.

S = (m,n)

–

на-

S

правляющий век-

O

x0

x

тор прямой

2. Уравнение пря-

A(x − x ) +

M

0

(x , y ) – точ-

y

N

0

0

0

мой

с нормаль-

+B( y − y0 ) = 0

ка на прямой,

y0

M0

ным вектором.

N = ( A, B)

–

нор-

мальный

вектор

O

x0

x

прямой

3. Уравнение

пря-

y = kx + b

k = tg α – угловой

y

мой с угловым ко-

коэффициент,

α }b

эффициентом.

b – отрезок, отсе-

x

O

каемый

на

оси

Oy.

4. Уравнение

пря-

y − y0 =

k = tg α – угловой

y

мой,

проходящей

= k(x − x0 )

коэффициент,

y0

M0

α

через данную точ-

M0 (x0 , y0 )

–

точ-

O

x0

x

ку в

данном

на-

ка на прямой.

правлении

Название

Уравнение

Смысл

Геометрическое

уравнения

параметров

изображение

5.

Уравнение пря-

x − x0

=

M0 (x0 , y0 ) ,

y

мой, проходящей

x

− x

M1(x1, y1) – точки

y1

M1

1

0

M0

через две точки

=

y − y0

на прямой.

y0

y1

− y0

O

x0

x1

x

6.

Уравнение пря-

x

+

y

=1

a, b – отрезки, от-

y

мой в отрезках.

a

b

секаемые на осях

b

координат.

O

a

x

ТАБЛИЦА 7.1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ НАПРАВЛЕНИЯ ПРЯМОЙ l

И ПРЯМЫХ l1 || l , l2 l

Определение,

Нормальный

Направляющий

Угловой

формула

вектор

вектор

коэффициент

1.

Обозначение.

N = ( A, B)

S = (m,n)

k

2.

Изображение,

N

S

y

l

определение.

l

l

O

ϕ

x

N

– вектор, пер- S – вектор,

парал- k = tg ϕ,

пендикулярный

лельный прямой l.

ϕ

– угол

наклона

прямой l.

прямой l к оси Ox.

3.

Формулы связи.

k = −A / B,

k = n / m,

S = (1, k),

S = (B,−A)

N = (n,−m)

N = (k,−1)

4.

Направление

N = N

S = S

k1 = k

прямой l1 (l1 || l ).

1

1

5.

Направление

N2 = S

S2 = N

k2 = −1

прямой l2 (l2 l ).

k

31

ТАБЛИЦА 7.1.3. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ В ПЛОСКОСТИ

Задача

Решение

1. Проверить принадлежность

точкиТочка M лежит на прямой, если

M (x1, y1) прямой Ax + By + C = 0.

Ax1 + By1 + C = 0 .

2. Найти

расстояние

d

от

точки

d =

Ax1 + By1 + C

d

M (x1, y1 )

M (x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0.

A2 + B2

3. Найти угол ϕ между прямыми

а) cosϕ =

N1 N2

=

A1 A2 + B1B2

;

а) A1x + B1 y + C1 = 0 ,

N1 N2

A2 + B2

A2

+ B2

1

1

2

2

A2 x + B2 y + C2 = 0 ;

б) tg ϕ = k2 − k1 ;

б) y = k x + b , y = k

x + b ;

2

1 + k2k1

1

1

2

в) x − x1 = y − y1 , x − x2

= y − y2 .

в) cos ϕ =

S1 S2

=

m1m2 + n1n2

.

m1

n1

m2

n2

S1 S2

m2

+ n2

m2 + n2

1

1

2

2

4. Проверить параллельность прямых. а) N

|| N

2

A1

= B1

;

1

A2

B2

б) k = k

2

; в) S

|| S

2

m1 = n1 .

1

1

m2

n2

5. Проверить

перпендикулярностьа) N N

2

A A + B B = 0;

1

1

2

1

2

прямых.

б) k1 k2 = −1;

в) S1 S2 m1m2 + n1n2 = 0 .

6. Найти точку пересечения прямых

Решить систему уравнений

A1x + B1 y + C1 = 0,

A1x + B1 y + C1 = 0,

A x + B y

+ C

2

= 0.

A x

+ B y + C

2

= 0

2

2

2

2

ТАБЛИЦА 7.1.4. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Понятие

Изображение

Уравнение, формула

1. Общее

уравнение

N

Ax + By + Cz + D = 0 ,

плоскости.

где

N = ( A, B,C) – нормальный век-

тор плоскости.

32

Понятие

Изображение

Уравнение, формула

2. Уравнение плоскости

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 ,

с

нормальным

векто-

N

где N = ( A, B,C)

– нормальный век-

ром.

M0

тор, M0 (x0 , y0 , z0 ) – точка на плос-

кости.

3. Частные случаи:

z

yOz

а) N = k = (0,0,1) z = 0;

а) плоскость xOy ;

k

j

б) плоскость xOz ;

б) N = j = (0,1,0) y = 0;

x

i

y

в) N = i = (1,0,0) x = 0.

в) плоскость yOz .

4. Уравнение плоскости

z c

x

+

y

+

z

=1,

в отрезках.

a

b

c

где a, b, c – величины отрезков, от-

a

b y

секаемых на осях координат (с уче-

x

том знака).

5. Угол между плоско-

N2

cosφ =

N1 N2

=

стями

|

N1 | | N2 |

ϕ

ϕ

A x + B y + C z + D = 0,

N

=

A1 A2 + B1B2 + C1C2

.

1

1

1

1

1

A2

+ B2 + C2

A2 + B2

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

+ C2

1

1

1

2

2

2

6. Условие

параллель-

N1

ности плоскостей

N2

N1 ||

N2

A x + B y + C z + D = 0,

A1

=

B1

=

C1

1

1

1

1

A2

B2

C2

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

7. Условие

перпендику-

лярности плоскостей

N2

N1 N2

A1x + B1 y + C1z + D1

= 0,

A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0

N1

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

ТАБЛИЦА 7.1.5. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Понятия

Изображения

Уравнение (формула)

1. Общие

уравне-

z

A x + B y + C z + D = 0

S

1

1

1

1

ния прямой.

G

N1

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

N2

N = ( A , B ,C )

нормальные

O

векторы

x

y

N

1

1

1

1

2

= ( A , B ,C

2

)

2

2

плоскостей.

2. Канонические

z

S

x − x0

= y − y0

= z − z0 ,

уравнения прямой.

m

n

p

M0 (x0 , y0 , z0 )

где S = (m,n, p)

– направляющий век-

x

O

y

тор, M0 (x0 , y0 , z0 )

– точка на прямой.

3. Частные случаи:

z

а) S = i = (1,0,0) z = 0, y = 0

а) ось Ox;

k

б) ось Oy;

j

б)

S = j = (0,1,0) x = 0, z = 0

в) ось Oz.

O

y

x

i

в) S = k = (0,0,1) x = 0, y = 0

4. Угол между пря-

z

S2

ϕ

S1 S2

мыми.

O

cosϕ =

S1 S2

x

S1

y

5. Условие

парал-

z

S2

S1 = (m1,n1, p1) ,

S2 = (m2 ,n2 , p2 )

лельности прямых.

O

S

|| S

m1

= n1 = p1

x

S1

y

2

1

m2

n2

p2

6. Условие перпен-

z

дикулярности пря-

O

S2

S1

S1

S2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0

мых

y

x

7. Угол между пря-

z

S

S N

мой и плоскостью.

N

ϕ

O

sin ϕ= S N

x

y

34