Тема 5. Произведения векторов

5.1. Вопросы для самостоятельного изучения

5.1.1. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, рав-

ное

ab = a b cos(a, b ) .

Обозначается скалярное произведение также a b или (a,b ) .

Свойства скалярного произведения

1) ab = a Прab или ab = b Прb a ;

2)ab =b a ;

3)(λa)b = λ(ab) ;

4)(a + b ) c = ac + bc ;

5)Скалярное произведение вектора на себя aa = a a cos0 = a a = a 2

называется скалярным квадратом a2 = a 2 ;

6)Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны

ab = 0 a b .

20

3. Условие ортогональности векторов a = (x1 , y1 , z1 ) и b = (x 2 , y 2 , z 2 ) :

ab x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 = 0 .

5.1.2.Векторное произведение векторов

Три вектора a,b,c называются компланарными, если они лежат в одной

плоскости (рис. 5.1.1).

Тройка некомпланарных векторов a,b,c , приведенных к общему началу,

называется правой, если из конца вектора c видно, что кратчайший поворот от

вектора a к вектору b происходит против часовой стрелки (рис. 5.1.2). Если

кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден из конца вектора c по ча-

совой стрелке, то тройка a,b,c называется левой (рис. 5.1.3).

21

Приложения векторного произведения

РИС. 5.1.5 5.1.5).

SABCD = 2 SABD = AB × AD .

3. Нахождение вектора, перпендикулярного двум данным векторам

Даны векторы a,b . Найти такой вектор c , чтобы c a, c b . В силу

определения векторного произведения в качестве вектора c можно взять вектор

c = a ×b .

Свойства смешанного произведения

1)при круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняет-

ся abc =bca = c ab ;

2)при перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет знак abc = −b ac , abc = − acb .

23