24.Переход детерминированных систем к хаотическому поведению.

Может ли случайный процесс быть детерминированным, а в детерминированном процессе обнаруживаться элементы случайного, хаотического поведения? А первый взгляд – это два взаимоисключающих понятия. Случайный процесс – это такой процесс, точное предсказание которого принципиально невозможно. Можно лишь ставить вопрос о вероятности того или иного варианта его развития. С дугой стороны, детерминированный процесс — это по определению процесс, каждый шаг которого предопределен некоторыми закономерностями, которые нам заведомо известны. Иными словами, это означает, что можно со 100-процентной вероятностью предсказать его будущее развитие во времени.

Например, если речь идет о механической системе, то хорошо известно, что задание начальных условий — координат и импульсов — однозначно определяет последующую ее эволюцию. Именно поэтому, во времена преобладания механистического взгляда на природу вещей, появилось известное изречение Лапласа: «Дайте мне начальные условия, и я предскажу будущее мира». Эта уверенность в правоте Лапласа и предсказуемости поведения систем, описываемых классической механикой, сохранялась вплоть до самого последнего времени в сознании большинства естествоиспытателей. Однако исследования последних 20 лет произвели настоящую революцию в этой области и показали, что не все так просто и что детерминированная механическая система может вести себя совершенно непредсказуемо. И, наоборот, в основе нерегулярного, хаотического поведения часто лежит вполне детерминированное описание. Оно, однако, вовсе не означает практическую возможность долговременного прогноза эволюции процесса.

В природе и в повседневной практике много таких процессов, которые, на первый взгляд, выглядят совершенно случайными, хаотическими. Простейший пример такого рода – это турбулентное движение жидкости, например, в горной реке или в чайнике, когда он кипит на сильном огне. Турбулентные конвективные потоки воздуха в атмосфере Земли затрудняют долгосрочный прогноз погоды. Форма горных рельефов и облаков на небе тоже кажется очень сложной, непредсказуемой, а поэтому случайной.

Яркий пример представляет собой наша память, которая работает по каким-то пока неведомым нам законам. Электроэнцефалограммы головного мозга в состоянии бодрствования представляют собой случайный сигнал. Может быть поэтому, на первый взгляд, совершенно случайно, в нашем мозгу иногда появляется какое-то постороннее воспоминание, совершенно не связанное с ходом наших мыслей в настоящий момент. Говорят, что в такие моменты мы "отвлекаемся" и, чтобы сосредоточиться на главном, стараемся как можно больше отгородиться от окружающего нас внешнего мира. Но часто это не помогает. Говорят также, что великие открытия, озарения как раз и происходят случайно. Вдруг в какой-то момент человек находит в один миг решение задачи, над которой бился многие годы.

Несмотря на сложность поведения этих и других систем, демонстрирующих хаос, в основе многих из них лежат достаточно простые уравнения. Например, турбулентные конвективные потоки воздуха в атмосфере Земли описываются уравнением Hавье-Стокса, которое вместе с уравнением теплопроводности и уравнением состояния идеального газа в поле силы тяжести Земли, дополненное начальными условиями, полностью определяют поведение системы. То же относится и к турбулентному движению жидкости, возникающему, когда так называемое число Рейнольдса R превышает некоторое критическое значение Rc. Hапротив, согласно тем же уравнениям Hавье-Стокса, при R<Rc движение жидкости является ламинарным и вполне предсказуемым.

Уравнения Киргоффа также вполне однозначно описывают поведение всякого рода усилителей и других радиотехнических схем. Колебания маятника под воздействием периодической вынуждающей силы описываются достаточно простым дифференциальным уравнением второго порядка, выражающим собой II закон Ньютона. Оказывается, что никаких случайных сил или шумов во всех этих уравнениях учитывать не нужно, чтобы решение при определенных значениях параметров выглядело случайным.

Когда было осознано, что во многих случаях система, обнаруживающая на практике хаотическое, непредсказуемое поведение, допускает тем не менее вполне детерминированное математическое описание, для многих это было настоящим потрясением. Было трудно поверить в то, что «случайный» процесс может быть решением одного или нескольких, часто с виду простых, дифференциальных уравнений. И хотя некоторые из подобных результатов были к тому времени хорошо известны избранному кругу лиц, пристального внимания большинства они не привлекали. Таким образом, можно констатировать, что 20 лет назад произошел своеобразный фазовый переход в научном сознании, когда у ученых открылись глаза, и на уже известные факты они посмотрели по-новому. После этого благодаря наличию мощных компьютеров началась настоящая революция в этой области. Одним из самых неожиданных результатов был вывод о практической непредсказуемости долговременного поведения детерминированных хаотических систем и необходимости использования статистического описания.

Обычно считалось, что проявление статистических закономерностей у динамических систем связано с большим числом степеней свободы последних и возможности усреднения по ним. В физике такие системы принято называть макроскопическими. Однако сейчас стало ясно, что такое требование вовсе необязательно. Существуют важные классы динамических систем с небольшим числом степеней свободы (даже с двумя!), у которых строго детерминированная динамика тем не менее приводит к появлению статистических закономерностей. Раньше считалось, что раз процесс является детерминированным, то его эволюцию во времени можно предсказать на много лет вперед, если решить соответствующие уравнения и подставить туда начальные условия. Тогда вводить вероятностное описание поведения системы ненужно. Однако это почти очевидное утверждение оказалось неправильным. Еще в конце XIX века французский математик А. Пуанкаре обнаружил, что в некоторых механических системах, эволюция которых определяется уравнениями Гамильтона, возможно непредсказуемое хаотическое поведение. Впоследствии было показано, что на самом деле таких систем в механике, названных неинтегрируемыми, великое множество. И регулярное, предсказуемое поведение механических систем является скорее исключением, чем правилом.