I уровень

1.1.Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через:

1) точку параллельно вектору

2) точку параллельно осиOy;

3) точки и

1.2.Определите, какие из точекипринадлежат прямой

1.3.Определите по параметрическим уравнениям точку, принадлежащую прямой, направляющий вектор и канонические уравнения этой прямой:

1) 2)3)

1.4.Определите по каноническим уравнениям точку, принадлежащую прямой, направляющий вектор и параметрические уравнения этой прямой:

1) 2)3)

II уровень

2.1.Составьте параметрические уравнения прямых:

1) 2)

2.2.Составьте канонические уравнения следующих прямых:

1) 2)

2.3.Составьте уравнения прямой, проходящей через точкуA(0, 1, – 4), параллельно прямой, заданной уравнениями:

2.4.Определите взаимное расположение прямых:

1) и

2) и

3) и

4) и

III уровень

3.1.Дан треугольник с вершинамиA(3, 7, 5),B(1, 2, 3) иC(3, 0, 1). Составьте параметрические уравнения его медиан.

3.2.Дан треугольник с вершинамиA(1, 2, – 7),B(2, 2, – 7) иC(3, 4, – 5). Составьте параметрические уравнения его биссектрис.

3.3.Дан треугольник с вершинамиA(1, – 2, – 4),B(3, 1, – 7) иC(5, 1, – 7). Составьте канонические уравнения его высот.

3.4.Составьте уравнения прямой, проходящей через точкупараллельно прямой

3.5.Докажите, что прямые скрещиваются, найдите расстояние между ними и угол, который они образуют:

1) и

2) и

15.3. Прямая и плоскость в пространстве

Пусть прямая Lзадана каноническими уравнениями:

где а плоскостьPзадана общим уравнением:

где

Тогда взаимное расположение прямой Lи плоскостиPв пространстве можно определить по взаимному расположению направляющего векторапрямойLи нормального вектораплоскостиP. Справедливы утверждения:

тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда

В последнем случае координаты точки пересечения М₁могут быть найдены следующим образом. От канонических уравнений прямой следует перейти к параметрическим, после чего подставитьx=x(t),y=y(t),z=z(t) в уравнение плоскости. Затем надо разрешить полученное уравнение относительно параметраtи найденное значениеtподставить в параметрические уравнения прямой. Это позволит найти значенияx₁,y₁,z₁, которые и будут координатами искомой точкиМ₁пересечения прямойLи плоскостиP.

Углом  между прямой и плоскостьюназывается угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость, т. е.

Пример 1. Установить взаимное расположение прямой и плоскости. В случае их пересечения найти координаты точки пересечения:

1) и

2) и

3) и

Решение. 1) Определим координаты направляющего вектора прямой по ее каноническим уравнениям. Это векторНормальный векторплоскостиимеет координатыНайдем скалярное произведение векторови

Значит, т. е. прямаяL и плоскость P параллельны. Проверим, не лежит ли прямая L в плоскости P. Для этого определим, принадлежит ли плоскости P точка которая лежит на прямой. Подставим ее координаты в уравнение плоскости:

Следовательно, а значит,

2) Прямая имеет направляющий вектор и проходит через точкуВыясним, будет ли векторперпендикулярен нормальному векторузаданной плоскостиВычислим скалярное произведение:

Поскольку оно равно нулю, то

Осталось проверить принадлежность точки плоскости:

Значит, прямая L лежит в плоскости P.

3) Направляющий вектор заданной прямой и нормальный векторплоскости не коллинеарны и не перпендикулярны, так как(коэффициенты не пропорциональны) и(скалярное произведение не равно нулю). Значит,Найдем координаты точкиМ₁ пересечения прямой и плоскости. Для этого перейдем сначала к параметрическим уравнениям прямой:

Затем в уравнение плоскости P подставим вместо x, y, z их выражение через параметр t:

откуда имеем:

т. е.

Подставим найденное значение параметра t в параметрические уравнения прямой:

Получили точку в которой прямая пересекает плоскость.

Пример 2. Определить угол между прямой L и плоскостью P:

1)

2)

3)

Решение. 1) По уравнению прямой L находим ее направляющий вектор а для плоскостиР – нормальный вектор

Очевидно, что координаты этих векторов пропорциональны, а значит, векторы являются коллинеарными. Следовательно, прямая L перпендикулярна плоскости Р, т. е.

2) Направляющий вектор прямойL имеет координаты а нормальный векторплоскостиР – Так както векторы перпендикулярны, а прямая и плоскость параллельны. Определим, не лежит ли прямаяL в плоскости. Для этого координаты точки подставим в уравнение плоскости:Значит прямая и плоскость параллельны, т. е.

3) Значит,

Таким образом

Пример 3. Найти координаты точки N, симметричной точке относительно прямой, проходящей через точкии

Решение. 1-й способ. Построим плоскость Р, проходящую через точку М перпендикулярно прямой АВ.

откуда Р:

Уравнения прямой АВ:

Найдем точку О пересечения плоскости Р и прямой АВ. Для этого решим уравнение

Значит, О(3, –2, 2). Так как О – середина отрезка MN, то

Зная координаты точек О и М, найдем N(4, 1, –3).

2-й способ. Для решения можно также воспользоваться следующими рассуждениями: точка N, симметричная точке M, находится в той же плоскости, что прямая AB и точка M, лежит на перпендикуляре MN к прямой AB и удалена от прямой AB на то же расстояние, что и точка M.

Пусть Тогда

1) – компланарны;

2)

3)

4) середина отрезка MN лежит на прямой AB.

Составим систему уравнений, используя координатную форму записи условий 1–3:

компланарны при условии т. е.откуда получаем:

т. е.

После сокращения имеем:

откуда

(15.20)

Условие равносильно условиюиличто приводит к уравнению

После преобразования имеем:

Далее получим:

откуда

(15.21)

Вычислим:

Равенство этих величин дает нам:

Подставим в последнее равенство правые части формул (15.20) и (15.21) вместо y и z соответственно, откуда получим уравнение

Решим это уравнение, найдя корни

Соответствующие значения y, z вычислим, используя равенства (15.20) и (15.21). Получим точки икоторые удовлетворяют первым трем условиям. Осталось проверитьчетвертое условие. Найдем середины О₁ и О₂ отрезков исоответственно:

или

или

Проверим, какая из точек (О₁ или О₂) лежит на прямой АВ:

так как но

так как

Приходим к ответу:

Пример 4. Прямая L задана как линия пересечения плоскостей

Написать уравнение ее проекции на координатную плоскость Oxz.

Решение. Построим канонические уравнения прямой L. В качестве направляющего вектора можно взять вектор гдеТогда

т. е.

Если то получим систему уравнений

из которой найдем а значит точкалежит на прямойL.

Таким образом, канонические уравнения прямой L таковы:

что эквивалентно системе трех уравнений, описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz соответственно:

После упрощения получаем:

Искомое уравнение:

Задания