Задание 4. Деревья, «полиз», Хеширование

Цель работы: познакомиться с алгоритмами работы с нелинейными структурами данных, а также с современными схемами хеширования.

Краткие теоретические сведения

1. Деревья (нелинейные структуры данных)

Дерево состоит из элементов, называемых узлами. Каждый узел имеет оригинальный ключ (как правило, это целое число), данные и поля ссылки. Т.е. каждый узел может ссылаться на другие узлы и если XY узел X называется предком (родителем), а Y - потомком (сыном) или дочерним узлом. Одинаковые ключи здесь не допускаются.

Дерево имеет единственный узел, у которого нет предков. Такой узел называют корнем дерева. Любой другой узел имеет ровно одного предка. Узел, не имеющий потомков, называется листом.

Внутренний узел – это узел, не являющийся ни листом ни корнем.

Бинарное дерево - это дерево, состоящее из узлов, ка­ждый из которых содержит не более двух ссылок на различные бинарные поддеревья, т.е. у каждого его узла (предка) может быть не более двух потомков - левый и правый. Таким образом, на каждый узел бинарного дерева имеется ровно одна ссылка.

На рисунке приведен пример бинарного дерева (корень обычно изображается сверху, хотя изображение можно и перевернуть).

Если дерево организовано так, что для каждого узла все ключи его ле­вого поддерева меньше ключа этого узла, а все ключи его правого поддерева - больше, оно называется деревом поиска.

Обычно бинарное дерево строитсясразу упорядоченным, т.е. ключ узла левого сына имеет значение меньшее, чем значение ключа у родителя, а узел правого сына - большее.

Например, если приходят числа 17, 18, 6, 5, 9, 23, 12, 7, 8, то построенное по ним дерево будет выглядеть следующим образом (для упрощения приводим только ключи):

Существуют три алгоритма обхода деревьев, которые естественно следуют из самой структуры дерева.

1. Обход слева направо: Left-Root-Right: сначала посещаем левое поддерево, затем - корень и, наконец, правое поддерево.

(Или наоборот, справа налево: Right -Root- Left)

2) Обход сверху вниз: Root-Left-Right : посещаем корень до поддеревьев.

3) Обход снизу вверх: Left-Right-Root: посещаем корень после поддеревьев

Иллюстрация алгоритмов обхода деревьев приведена в теме «Построение обратной польской записи»

2. Построение обратной польской записи

Одной из главных причин, лежащих в основе появления языков программирования высокого уровня, явились вычислительные задачи, требующие больших объемов вычислений. Поэтому к языкам программирования предъявлялись требования максимального приближения формы записи арифметических выражений к естественному языку математики с последующим их вычислением путем их трансляции. Здесь наибольшее распространение получил метод трансляции с помощью обратной польской записи («ПОЛИЗ»), которую предложил польский математик Я.Лукашевич: – представление перед вычислениями арифметического выражения в постфиксной форме.

И прежде чем рассмотреть конкретные примеры, познакомимся с различными способами записи арифметических выражений. Пусть для операндов a и b выполняется операция сложения. Мы привыкли записывать это в виде a+b. Такая форма записи называется инфиксной. Наряду с этой формой записи существуют еще префиксная (+ab) и постфиксная (ab+) формы записи арифметических выражений. Отличаются они друг от друга положением знака операции по отношению к операндам: - в инфиксной записи знак операции располагается между операндами, над которыми эта операция выполняется; - в префиксной записи знак операции предшествует соответствующим операндам, а в постфиксной - знак операции располагается за операндами.

Пример. Использование бинарного дерева.

Пусть задано простое арифметическое выражение вида:

(a+b)*(c+d)-e (5.1)

Представим это выражение в виде дерева, в котором узлам соответствуют операции, а листьям - операнды.

Алгоритм построения такого дерева следующий.

1. Построение начинают с корня, в качестве которого выбирается операция, выполняющаяся последней. Левой ветви соответствует левый операнд операции, а правой ветви - правый.

2. Если выражение сложное, то далее в узлах очередного уровня размещают операции по восходящей очередности их выполнения.

3. В узлы последнего уровня помещают операции, которые будут выполнены в первую очередь.

4. И наконец операнды – листья дерева.

Дерево выражения (5.1) имеет вид:

Совершим обход дерева, под которым будем понимать формирование строки символов из символов узлов и ветвей дерева. Обход будем совершать от самой левой ветви вправо и узел переписывать в выходную строку только после рассмотрения всех его ветвей (обход по алгоритму «Левое поддерево – Правое поддерево – Корень», строго по уровням, т.е. последовательно снизу вверх). Результат обхода дерева имеет вид:

ab+cd+*e- (5.2)

Характерные особенности выражения (2) состоят в следовании символов операций за символами операндов и в отсутствии скобок. Такая запись называется обратной польской записью.

Обратная польская запись - идеальный промежуточный язык при трансляции:

вычисление выражения, записанного в обратной польской записи, проводится путем его однократного просмотра слева направо, что является весьма удобным при генерации объектного кода программ.

Алгоритм вычислений «ПОЛИЗ» следующий:

1. Если текущий элемент записи – операнд. То переходим к следующему элементу.

2. Если же текущий элемент записи – символ операции, то эта операция выполняется над ближайшими двумя операндами, расположенными слева от этой операции. Полученный результат размещают на месте самого левого операнда а сами операнды и символ операции из «ПОЛИЗа» вычеркивают.

В результате последовательно будут выполнены все операции а сама запись сократится до одного элемента: конечного результата.

Например, вычисление выражения (2) может быть проведено следующим образом:

№	Анализируемая строка	Действие
1	аb+сd+*e-	r1=a+b
2	r1cd+*e-	r2=c+d
3	r1r2*e-	r1=r1*r2
4	r1e-	r1=r1-e
5	r1

Здесь r1и r2 - вспомогательные переменные.

r1 на пятом уровне – конечный результат