1. Метод простой итерации

Уравнение (2.1) записывают в виде разрешенном, относительно x:

. (1.2)

Заметим, что переход от записи уравнения (1.1) к эквивалентной записи (1.2) можно сделать многими способами, например, положив

, (1.3)

где - произвольная, непрерывная, знакопостоянная функция. Часто достаточно выбрать функциюкак константу=const из диапазона ±0.1 - 0.9 .

В этом случае корни уравнения (1.2) являются также корнями (1.1), и наоборот.

Исходя из записи (1.2) члены рекуррентной последовательности в методе простой итерации вычисляются по закону

. (1.4)

Метод является одношаговым, так как последовательность x₀, x₁, …, x_к имеет первый порядок (m=1) и для начала вычислений достаточно знать одно начальное приближение илиили.

Условием сходимости метода простой итерации: если дифференцируема и выполнение неравенства для любого . (1.5)

Максимальный интервал (, ), для которого выполняется неравенство (1.5), называется областью сходимости.

Рис. 1.1.

Схема алгоритма метода простой итерации представлена на рис. 1.1.

В данном алгоритме число проделанных итераций подсчитывает параметр к, а правая часть выражения 1..4 обозначено как «fi». Точность решения – eps. Число итераций лучше ограничить.

2. Метод Ньютона

Этот метод является модификацией метода простой итерации. Если f(x) имеет непрерывную производную и− дважды непрерывно дифференцируемая функция, тогда, выбрав в (2.3), получаем эквивалентное уравнение. Т.е. рекуррентная последовательность метода Ньютона

(1.6)

Из (1.6) видно, что этот метод одношаговый(m=1)и для начала вычислений требуется задать одно начальное приближениеx₀изобластисходимости

при

или

при).

Метод Ньютона получил также второе название метод касательных благодаря геометрической иллюстрации его сходимости, представленной на рис. 1.2. Этот метод позволяет находить как простые, так и кратные корни.

Основной его недостаток - малая область сходимости и необходимость вычисления производной f'(x). Структурная схема алгоритма отличается от предыдущей только формулой вычисления x1 через x0.

3. Метод секущих

Данный метод является модификацией метода Ньютона, позволяющей избавиться от явного вычисления производной путем ее замены приближенной формулой. Это эквивалентно тому, что вместо касательной на рис. 1.2 проводится секущая.

Тогда вместо процесса (1.6) получаем

. (1.7)

Здесь h - некоторый малый параметр метода, который подбирается из условия наиболее точного вычисления приближенного значения производной.

Метод одношаговый (m=1)..

Рекуррентное соотношение (1.7) можно преобразовать к более простой форме.

Каждое последующее приближение вычисляется по рекуррентной формуле

,

где , (1.7а)

которая справедлива, если данная функция f(x)на интервале(, )вогнутая:().

Рис. 1.3

Если же функция выпуклая, то справедлива следующая рекуррентная формула:

, (1.7б)

где (см. рис. Рис.1.4).

Рис. 1.4