- •Министерство образования Республики Беларусь
- •Содержание
- •З а д а н и е 1. Численное решение алгебраических уравнений
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Метод простой итерации
- •В данном алгоритме число проделанных итераций подсчитывает параметр к, а правая часть выражения 1..4 обозначено как «fi». Точность решения – eps. Число итераций лучше ограничить.
- •2. Метод Ньютона
- •3. Метод секущих
- •4. Метод Вегстейна
- •5. Метод деления отрезка пополам
- •Варианты заданий
- •Контрольные вопросы
- •Задание 2. Аппроксимация функций
- •Краткие теоретические сведения
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Тогда после нескольких преобразований получим:
- •Варианты заданий
- •Контрольные вопросы
- •Задание 3. Алгоритмы численного интегрирования
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Формула прямоугольников.
- •2. Формула трапеций.
- •3. Формула Симпсона или формула парабол.
- •Контрольные вопросы
- •Задание 4. Деревья, «полиз», Хеширование
- •1. Деревья (нелинейные структуры данных)
- •2. Построение обратной польской записи
- •3. Понятие хеширования
- •Хеширование таким образом – это способ, который подразумевает использование значения ключа для определения его позиции в специальной таблице..
- •Схемы хеширования
- •2. “Польская запись”
- •Задания по вариантам
- •3. Задача хеширования
- •Учебно-методические материалы по дисциплине Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Перечень методических материалов
Тогда после нескольких преобразований получим:
интерполяционный многочлен Ньютона-Грегори:
.
Пример:
Пусть требуется найти интерполяционный многочлен для функции , имеющей в узлах,,,
значения ,,,.
Шаг h=1,m=4.
Вычислим конечные разности:
-
xi
0
1
2
3
5
3
2
4
-2
-1
2
1
3
2
N3(x)=5+-2/(1!*1)(x-0)+1/(2!*12)(x-0)(x-1)+2/(3!*13)(x-0)(x-1)(x-2)
Аналитический вид полинома Ньютона-Грегори третьего порядка:
Варианты заданий
Во всех вариантах требуется аппроксимировать заданную исходную функцию f(x) многочленом Лагранжа на интервале [a, b], m - количество точек (узлов), в которых задана функция. Т.е. таблица исходной функции yi=f(xi) вычисляется в точках
Используя полученную таблицу требуется вычислить значения функцийи погрешностьв точках
(в узловых точках d(xj=xi )=0)
Таблица 2.1
N |
Функция f(x) |
а |
В |
m |
1 |
-2 |
3 |
4 | |
2 |
0 |
3 |
5 | |
3 |
1 |
8 |
5 | |
4 |
4 |
7 |
4 | |
5 |
5 |
8 |
4 | |
6 |
3 |
6 |
4 | |
7 |
1 |
4 |
5 | |
8 |
0 |
4 |
5 | |
9 |
-8 |
2 |
5 | |
10 |
-2 |
5 |
5 | |
11 |
-5 |
3 |
5 | |
12 |
-1 |
4 |
5 | |
13 |
1 |
7 |
4 | |
14 |
-3 |
5 |
4 | |
15 |
-4 |
2 |
4 |
2. Для всех вариантов проведите линейную интерполяцию между двумя соседними узлами для десяти дополнительных промежуточных точек.
3. Используя исходную таблицу yi=f(xi) i=1,m, получите аналитический вид полинома Ньютона-Грегори Nm-1(x). Требуется вычислить значения функций и погрешностьв точках
Можно только теоретически !!!
4. Постройте графики и проанализируйте качество полученной аппроксимации.
Контрольные вопросы
1. Как ставится задача линейной аппроксимации функций?
2. Что такое интерполяция, ее геометрическая интерпретация?
3. Напишите интерполяционный многочлен Ньютона 2-го порядка.
4. Напишите интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка.
5. Как получить формулу линейной интерполяции?
Задание 3. Алгоритмы численного интегрирования
Цель работы: изучить приемы составления алгоритмов и написания программ для вычисления определенных интегралов. Научиться вычислять определенные интегралы с заданной точностью.
Краткие теоретические сведения
Задача численного вычисления определенного интеграла заключается в определении суммы ряда значений подинтегральной функции по определенным алгоритмам.
Постановка задачи: Найти определенный интеграл, гдеf(x)– некоторая заданная на отрезке [a,b] непрерывная функция.
Для простоты разобьем промежуток интегрирования точками, равноудаленными с шагом h друг от друга: и заменим искомый интеграл на сумму интегралов на полученных элементарных участках:
. (3.1)
Заменяя подинтегральную функцию линейными полиномами получаем следующие квадратурные формулы.
1. Формула прямоугольников.
Аппроксимируем площадь под графиком функции f(x) суммой прямоугольников с основанием h и высотой f(), где .
1.a формула левых прямоугольников
(3.2)
где: ,
1.б формула правых прямоугольников
(3.3)
где:.,
1.в формула средних прямоугольников
=Σcp, где: . (3.4)
т.е. здесь берем средние точки элементарных участков: ,
Оценка погрешности методов левых и правых прямоугольников: , где(3.5)
средних прямоугольников:
, где (3.6)