Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Методичка по АВМ 2014.doc
Скачиваний:
31
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.54 Mб
Скачать

Тогда после нескольких преобразований получим:

интерполяционный многочлен Ньютона-Грегори:

.

Пример:

Пусть требуется найти интерполяционный многочлен для функции , имеющей в узлах,,,

значения ,,,.

Шаг h=1,m=4.

Вычислим конечные разности:

xi

0

1

2

3

5

3

2

4

-2

-1

2

1

3

2

N3(x)=5+-2/(1!*1)(x-0)+1/(2!*12)(x-0)(x-1)+2/(3!*13)(x-0)(x-1)(x-2)

Аналитический вид полинома Ньютона-Грегори третьего порядка:

Варианты заданий

  1. Во всех вариантах требуется аппроксимировать заданную исходную функцию f(x) многочленом Лагранжа на интервале [a, b], m - количество точек (узлов), в которых задана функция. Т.е. таблица исходной функции yi=f(xi) вычисляется в точках

  2. Используя полученную таблицу требуется вычислить значения функцийи погрешностьв точках

(в узловых точках d(xj=xi )=0)

Таблица 2.1

N

Функция f(x)

а

В

m

1

-2

3

4

2

0

3

5

3

1

8

5

4

4

7

4

5

5

8

4

6

3

6

4

7

1

4

5

8

0

4

5

9

-8

2

5

10

-2

5

5

11

-5

3

5

12

-1

4

5

13

1

7

4

14

-3

5

4

15

-4

2

4

2. Для всех вариантов проведите линейную интерполяцию между двумя соседними узлами для десяти дополнительных промежуточных точек.

3. Используя исходную таблицу yi=f(xi) i=1,m, получите аналитический вид полинома Ньютона-Грегори Nm-1(x). Требуется вычислить значения функций и погрешностьв точках

Можно только теоретически !!!

4. Постройте графики и проанализируйте качество полученной аппроксимации.

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача линейной аппроксимации функций?

2. Что такое интерполяция, ее геометрическая интерпретация?

3. Напишите интерполяционный многочлен Ньютона 2-го порядка.

4. Напишите интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка.

5. Как получить формулу линейной интерполяции?

Задание 3. Алгоритмы численного интегрирования

Цель работы: изучить приемы составления алгоритмов и написания программ для вычисления определенных интегралов. Научиться вычислять определенные интегралы с заданной точностью.

Краткие теоретические сведения

Задача численного вычисления определенного интеграла заключается в определении суммы ряда значений подинтегральной функции по определенным алгоритмам.

Постановка задачи: Найти определенный интеграл, гдеf(x)– некоторая заданная на отрезке [a,b] непрерывная функция.

Для простоты разобьем промежуток интегрирования точками, равноудаленными с шагом h друг от друга: и заменим искомый интеграл на сумму интегралов на полученных элементарных участках:

. (3.1)

Заменяя подинтегральную функцию линейными полиномами получаем следующие квадратурные формулы.

1. Формула прямоугольников.

Аппроксимируем площадь под графиком функции f(x) суммой прямоугольников с основанием h и высотой f(), где .

1.a формула левых прямоугольников

(3.2)

где: ,

1.б формула правых прямоугольников

(3.3)

где:.,

1.в формула средних прямоугольников

cp, где: . (3.4)

т.е. здесь берем средние точки элементарных участков: ,

Оценка погрешности методов левых и правых прямоугольников: , где(3.5)

средних прямоугольников:

, где (3.6)