2. Формула трапеций.

. Поступаем аналогично предыдущему способу, только аппроксимировать будем трапециями. Площадь элементарной криволинейной трапеции , а интеграл

. (3.7)

При этом погрешность составляет (3.8)

3. Формула Симпсона или формула парабол.

Теперь аппроксимируем функцию на элементарном отрезке параболой. По сравнению с предыдущими способами вдвое уменьшим расстояние между узлами: , тогда искомый интеграл будет равен и в итоге имеем:

.(3.9)

Данная формула и называется формулой Симпсона. Можно показать, что погрешность формулы Симпсона: (3.10)

3. Схема с автоматическим выбором шага по заданной точности

1. Один из вариантов вычисления интеграла с заданной точностью:

1) Задают первоначальное число площадок m и вычисляют значение S1

2) Число площадок удваивают m=m*2

3) Вычисляют значение интеграла S2

4) Проверяют выполнение неравенства:

Если выполняется - заданная погрешность), тоS1=S2

шаг h уменьшают вдвое: m=m*) и расчет повторяют: переход к пункту 3.

5) Если нет, заданная точность достигнута: печать S2, m – финальное число площадок,  - заданная погрешность

2. Анализ приведенных формул показывает, что точное значение интеграла находится между значениями и, при этом имеет место соотношение

(3.11)

Это соотношение часто используется для контроля погрешности вычислений. Расчет начинается с m=2 и производится по двум методам, в результате получают . Если- заданная погрешность), то шагh уменьшают вдвое (m=m2) и расчет повторяют. Если точность достигается, то окончательное значение интеграла получается по формуле 3.11. При существенном уменьшении шага h начинают сказываться ошибки округления, поэтому шаг должен быть ограничен снизу некоторой величиной, зависящей от разрядной сетки ЭВМ (mn –максимально допустимое число площадок).

Варианты заданий

Создать и отладить программу расчета интеграла с заданной точностью.

При использовании алгоритма вычисления интеграла с автоматическим выбором шага по данной точности расчет произвести для = 0.01, 0.001, 0.0001 и получить зависимость m().

Вычислите интеграл по формуле Симпсона для m=100 и сравните полученный результат со значением интеграла, полученного методом с автоматическим выбором шага интегрирования.

Таблица 3.1

N	Функция f(x)	Интервал		Значение
		a	b
1		-2	3	5.983
2		0	3	-6.699
3		1	8	8.896
4		4	7	6.118
5		5	8	6.067
6		3	6	-3.367
7		1	4	0.100
8		0	4	0.153
9		-8	2	713.3
10		-2	5	-69.42
11		-5	3	167.6
12		-1	4	22.09
13		1	7	3.533
14		-2	5	154.73
15		-4	2	20.375

Контрольные вопросы

1. Дайте геометрическую интерпретацию методов прямоугольников: средних, трапеций, Симпсона.

2. Дайте геометрическую интерпретацию метода трапеций.

3. Дайте геометрическую интерпретацию метода Симпсона.

4. Какой порядок погрешности имеют эти методы?

5. Суть алгоритма вычисления интеграла с автоматическим выбором шага интегрирования.