- •Министерство образования Республики Беларусь
- •Содержание
- •З а д а н и е 1. Численное решение алгебраических уравнений
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Метод простой итерации
- •В данном алгоритме число проделанных итераций подсчитывает параметр к, а правая часть выражения 1..4 обозначено как «fi». Точность решения – eps. Число итераций лучше ограничить.
- •2. Метод Ньютона
- •3. Метод секущих
- •4. Метод Вегстейна
- •5. Метод деления отрезка пополам
- •Варианты заданий
- •Контрольные вопросы
- •Задание 2. Аппроксимация функций
- •Краткие теоретические сведения
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Тогда после нескольких преобразований получим:
- •Варианты заданий
- •Контрольные вопросы
- •Задание 3. Алгоритмы численного интегрирования
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Формула прямоугольников.
- •2. Формула трапеций.
- •3. Формула Симпсона или формула парабол.
- •Контрольные вопросы
- •Задание 4. Деревья, «полиз», Хеширование
- •1. Деревья (нелинейные структуры данных)
- •2. Построение обратной польской записи
- •3. Понятие хеширования
- •Хеширование таким образом – это способ, который подразумевает использование значения ключа для определения его позиции в специальной таблице..
- •Схемы хеширования
- •2. “Польская запись”
- •Задания по вариантам
- •3. Задача хеширования
- •Учебно-методические материалы по дисциплине Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Перечень методических материалов
Контрольные вопросы
1. Как решается задача нахождения корней уравнения?
2. В чем суть метода простой итерации и условие его сходимости?
3. Дайте геометрическую интерпретацию метода Ньютона.
4. В чем отличие метода Вегстейна от метода секущих?
5. Дайте геометрическую интерпретацию метода секущих (хорд).
Задание 2. Аппроксимация функций
Цель работы: изучить правила составления программ на языке Си, реализующих основные алгоритмы аппроксимации .функций. Освоить методику построения и использования алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона
Краткие теоретические сведения
Нахождение функции y=(x), близкой (т.е. аппроксимирующей) к некоторой исходной функции y=f(x)является одной из основных задач теории аппроксимации функций.
Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x, представляющей некоторый интервал [a, b], где функции f и должны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов). (обозначим их как вектор), число которых равно количеству искомых параметров. Далее, параметры вектораподбирают такими, чтобы функциясовпадала сf(x) в этих узлах, (2.1)
Наиболее простой, хорошо изученной и нашедшей широкое применение в настоящее время, является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию , линейно зависящую от параметров.
Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены, ибо они легко обрабатываются на ЭВМ.
Из математического анализа известно, что в силу теоремы Вейерштрасса, любую функцию можно с какой угодно точностью приблизить многочленом.
Пусть f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a,b].
Выберем на этом отрезке узлы интерполяции:
.
Предположим, что в узлах интерполяции значения функции известны:
. (2.2)
Ставится задача: найти алгебраический многочлен Pn-1(x) такой, что
. (2.3)
Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n-1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках.
Общий вид алгебраического многочлена
(2.4)
Можно показать, что задача интерполяции посредством алгебраических многочленов имеет решение, причем единственное,
Оценка погрешности интерполяции:
, где. (2.5)
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Многочлен Лагранжа имеет вид:
где(2.6.)
Очевидно, что а,(2.7)
Линейная интерполяция
В общем случае для приближенного вычисления значения функции f в точке xТ находят в таблице ближайший к этой точке i-узел из общей таблицы, строят интерполяционный линейный многочлен вида:
(2.8)
и за значение f(x) принимают (линейная интерполяция)
Можно показать, что погрешность линейной интерполяции оценивается как:
где h – расстояние между соседними точками.
Интерполяционный многочлен Ньютона
Пусть − набор узлов интерполирования,− значения функциив узлах.
Величину называют конечной разностью первого порядка вк-ом узле.
Аналогично определяются конечные разности высших порядков.
.
Разделенной разностью первого порядка называется выражение
,
.
Разделенной разностью второго порядка называется выражение
и т. д.
Используя представление функции f(x) в текущей точкеxчерез разделенные разности можно показать, что
. (2.9)
Очевидно, при
т. е. − интерполяционный многочлен. Его называют интерполяционным многочленом Ньютона.
Рассмотрим случай равноотстоящих узлов, т. е. xi-xi-1=h