Визначення ширини забороненої зони напівпровідника із температурної залежності електропровідності

Мета роботи: експериментальне дослідження температурної залежності питомої електропровідності та визначення ширини забороненої зони напівпровідника за даними вимірювань.

В основу квантово-механічного опису механізму провідності напівпровідника покладена зонна модель. При утворенні ідеальної кристалічної гратки з дискретних енергетичних станів ізольованих атомів виникають енергетичні зони, оскільки кожний атомний рівень розщеплюється на велику кількість рівнів, які створюють квазінеперервну зону можливих станів енергії електрона. Якщо кристал утворений з N атомів, то кожна з таких зон містить рівно N рівнів або 2N станів через наявність двох напрямків спіну електрона. Ці зони в залежності від матеріалу можуть як перекриватись, так і бути розділеними забороненими зонами.

Енергетичний спектр електронів у напівпровідниках складається з трьох енергетичних зон: валентної, забороненої і зони провідності. При абсолютному нулі температури валентна зона повністю заповнена валентними електронами, зона провідності –вільна. Якщо до такого напівпровідника прикласти електричне поле, струму не виникне, тому що електрони не мають можливостіпереміщуватись у заповненій зоні. Щоб брати участь в утворенні струму, електрони повинні перейти у вільну зону, тобто збільшити свою енергію на величину, що дорівнює ширині забороненої зони. При абсолютному нулі і без дії будь-яких зовнішніх факторів електрони не можуть перейти в зону провідності, і напівпровідник за своїми електричними властивостями буде ізолятором, у той час як метал за цих самих умов володіє дуже високою електропровідністю, оскільки структура його енергетичного спектра інша.

Для металів, наприклад, є дві можливості. У лужних металах валентна зона заповнена лише частково, і при абсолютному нулі температури всі валентні електрони, займаючи найнижчі енергетичні рівні, вищі залишають незайнятими. Друга можливість полягає в тому, що до валентної зони безпосередньо прилягає або навіть перекривається з нею зона збуджених рівнів. Ця обставина зумовлює високу електро- і теплопровідність металів і металевих сплавів.

Отже, принципова різниця між металами і напівпровідниками полягає в наявності в енергетичному спектрі носіїв заряду напівпровідників забороненої зони, величина якої для різних напівпровідників лежить у межах від декількох десятих електрон-вольт до 3 еВ. У металах, де зони перекриваються чи прилягають одна до одної, забороненої зони немає. Щодо ізоляторів, то між

ними й напівпровідниками існує лише кількісна різниця. В діелектриках ширина забороненої зони перевищує 3 еВ (рис.1).

Рис.1. Енергетичні зони у твердих тілах:

а, б – метали; в – напівпровідник; г – ізолятор.

Електричний струм у кристалі – це напрямлений рух заряджених частинок, який виникає під дією зовнішнього електричного поля. Перед тим як до кристала прикладена різниця потенціалів, рух вільних носіїв у ньому (наприклад електронів) відбувається хаотично. На своєму шляху електрони зазнають зіткнень у першу чергу з тепловими коливаннями, а також із дефектами кристалічної гратки. В інтервалах між зіткненнями електрони рухаються вільно, тобто рівномірно й прямолінійно. Хаотичний рух електронів у кристалі не створює електричного струму, оскільки середня кількість електронів, що рухаються зарізними напрямками, однакова. Після прикладення електричного поля електрони отримують додаткові прискорення в напрямку, протилежному до напрямку вектора електричного поля. Тепер безладний рух електронів замінюється напрямленим рухом частинок, який і створює електричний струм.

Густина електричного струму визначається величиною заряда, який переносять електрони через переріз напівпровідника одиничної площі за одиницю часу:

, (1)

де n – концентрація електронів у кристалі; – середня швидкість електрона.

Питома електропровідність кристала σ – відношення густини струму j до напруженості поля, яке зумовлює цей струм.

Електропровідність металів при нагріванні зменшується, а напівпровідників і діелектриків – різко зростає. Залежність σ(Т) у напівпровідниках і діелектриках має експоненційний характер (за винятком області домішкового виснаження). Якісно це показано на рис. 2. Крім того, при внесенні домішок у напівпровідники та діелектрики їх провідність зростає, тоді як електропровідність металів погіршується.

Рис. 2. Температурні залежності електропровідності

для металів і напівпровідників.

Істотну відмінність характеру температурної залежності питомої електропровідності напівпровідників, діелектриків і металів можна пояснити на основі співвідношення, яке пов’язує величину σ із концентрацією носіїв заряду n та їх рухливістю :

σ = еn. (2)

Отже, температурна залежність величини σ визначається характером температурних залежностей концентрації носіїв заряду та їх рухливості.

Метали. Внаслідок металевого типу хімічного зв’язку між атомами всі або майже всі валентні електрони в металах вільні (колективізовані). При абсолютному нулі і при температурі плавлення концентрація вільних електронів у металах практично незмінна. Це означає, що на їх утворення тепловий рух не впливає. Концентраwsz електронів у металах дорівнює n = 510²¹  10²³ см^-3, що зумовлює високу електропровідність металів навіть за низьких температур.

Оскільки в металах концентрація носіїв заряду від

температури не залежить, то температурна залежність σ визначається температурною залежністю рухливості. У чистих металах досконалої структури єдиною причиною, яка впливає на величину рухливості, є теплові коливання гратки. Зі збільшенням температури зростає амплітуда теплових коливань атомів, а отже, і зв’язані з ними флуктуації періодичного поля кристалічної гратки. Це підсилює розсіювання електронів і, відповідно, зменшує їх рухливість, що у свою чергу призводить до зменшення питомої електропровідності металів. У низькотемпературній області (T  _D  температура Дебая) рухливість носіїв заряду зменшується з підвищенням температури ще й за рахунок введення нових частот коливань.

Напівпровідники. На відміну від металів, атоми напівпровідників побудовані так, що їх зовнішні електрони суттєво зв’язані з ядрами. Тому, коли ізольовані атоми зближаються, конденсуючись у тверде тіло, зовнішні електрони продовжують належати своїм атомам. Для того, щоб відірвати найслабше зв’язані електрони від атомів напівпровідника, перетворивши їх в електрони провідності, необхідно надати цим електронам деяку енергію. У звичайних умовах ця енергія постачається завдяки тепловій енергії кристала.

Зазначимо, що концентрація носіїв заряду в невироджених напівпровідниках при збільшенні температури зростає за експоненційним законом

, (3)

де n₀ і E_a  деякі постійні для даного інтервалу температур величини, характерні для кожного напівпровідника. Величина E_a називається енергією активації. За своїм фізичним змістом вона різна для різних температурних інтервалів.

Розсіювання носіїв заряду в напівпровідниках може істотно змінювати їх рухливість. Однак величина  змінюється в напівпровідниках із температурою, як правило, за степеневим законом, який значно слабший, ніж експоненційна залежність концентрації носіїв заряду. Тому температурна залежність питомої електропровідності в напівпровідниках визначається температурною залежністю концентрації носіїв заряду

^. (4)^. Загальна формула для електропровідності в напівпровіднику з двома типам носіїв заряду має такий вигляд:

, (5)

де р – концентрація дірок; μ_n і μ_p – рухливості, відповідно, електрона й дірки (рухливість – це швидкість, якої набуває носій заряду в електричному полі одиничної напруженості).

Питома електропровідність напівпровідників лежить у межах від 10⁴ до 10^-10 Ом^-1·см^-1; металів – 10⁴-10⁶ Ом^-1·см^-1; діелектриків – 10^-10-10^-20 Ом^-1·см^-1.

На властивості напівпровідників можуть істотно впливати домішкові атоми, які знаходяться в кристалічній гратці. У цьому випадку валентні електрони можуть утворювати локальні енергетичні рівні в забороненій зоні. Якщо кількість валентних електронів атома домішки, наприклад, на одиницю більша, ніж в основних атомів напівпровідника, то зайвий електрон буде відірваний від домішки і зможе вільно переміщуватись по кристалу. Домішка, яка віддає електрон, називається донорною, а відповідний напівпровідник називатиметься електронним, донорним, або n-типу провідності. При цьому в забороненій зоні на невеликій відстані від дна зони провідності утворюється енергетичний рівень (рис. 3, а). Домішка, котра захоплює електрон, називається акцепторною. Її валентність на одиницю менша за валентність основних атомів кристала. Напівпровідник із такими домішками називається акцепторним, дірковим, або р-типу провідності. Така домішка утворює в забороненій зоні енергетичний рівень на невеликій відстані від валентної зони (рис. 3, б).

Рис. 3. Енергетична діаграма донорного (а) і акцепторного (б) напівпровідників. Стрілками позначені можливі типи переходів електронів із донорного рівня в зону провідності (а) та із валентної зони на акцепторний рівень (б).

Якщо в напівпровіднику одночасно містяться і донорні, і акцепторні домішки, то він називається компенсованим при N_a = N_d (де N_a і N_d – концентрації акцепторів і донорів), а тип провідності – змішаним. Якщо N_a  N_d, то напівпровідник називається частково компенсованим.

Оскільки енергія iонізації домішки менша, ніж ширина забороненої зони, то при низьких температурах теплові переходи електронів будуть відбуватись не між енергетичними зонами, а між домішковими рівнями і зонами. Провідність, що здійснюється електронами, що перейшли з донорного рівня в зону про-відності, або дірками, що утворилися у валентній зоні при захопленні електронів акцепторним рівнем, називається домішковою провідністю. При високих температурах електрони безпосередньо із валентної зони переходять у зону провідності, й тоді провідність напівпровідника визначається електронами в зоні провідності і дірками у валентній зоні. Така провідність називається власною. Напівпровідник без присутностідомішок також називається власним напівпровідником, але отримати матеріал без домішок технологічно досить важко.

Схематично температурна залежність концентрації носіїв заряду в напівпровіднику в широкому інтервалі температур наведена на рис. 4. Аналогічний характер температурної залежності має і електропровідність напівпровідника.

Рис. 4 . Температурна залежність концентрації носіїв заряду в напівпровіднику.

Електропровідність напівпровідникового кристала в області власної провідності визначається таким виразом:

, (6)

де n_i – концентрація носіїв заряду в області власної провідності; b = μ_n/μ_p, N_c, N_v – ефективна густина енергетичних станів, відповідно, в зоні провідності та валентній зоні:

, , (7)

де m_n^* i m_p^* – ефективні маси електронів і дірок. У випадку, коли рухливості електронів і дірок мають однакову степеневу залежність від температури, b = const.

Якщо ширина забороненої зони істотно більше kT, а це має місце для переважної більшості напівпровідників, температурна залежність _i(T) визначається, в основному, експоненційним членом формули (6), тому що величина (N_cN_v)^1/2 змінюється з температурою як T^3/2, а рухливості носіїв заряду в напівпровідниках у більшості випадків змінюються з температурою також за степеневим законом.

Тоді (6) перепишеться у вигляді

, (8)

де С – постійна величина, яка залежить від параметрів напівпровідника і не залежить від температури. Тому в координатах lg_i =f (1/T) вираз (8) буде мати вигляд прямої лінії. Дійсно,

lg_i = lgC – (E_g /2kT)  lge. (9)

Для визначення ширини забороненої зони напівпровідника необхідно побудувати графічну залежність lg_i = f (10³/T) (рис. 5).

Рис. 5. Температурна залежність питомої електропровідності напівпровідника, побудована в координатах lg_i =f (10³/T).

Згідно з (9), графік цієї залежності є пряма з кутовим коефіцієнтом нахилу:

, (10)

визначивши який, можна знайти ширину забороненої зони напівпровідника E_g. Величина = 0,397, тому вираз для визначенняE_g буде таким:

. (11)

Оскільки E_g залежить від температури, маючи дані вимірювань температурної залежності електропровідності в області власної провідності, за допомогою формули (11) можна визначити E_g при температурі Т = 0 К.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ

Вимірювання питомої електропровідності σ здійснюють двозондовим методом. Для під’єднання зразка в електричну схему на його торцях розміщують омічні контакти і до них припаюють струмопровідні дротинки. На одній із бічних поверхонь вздовж ліній струму встановлюють два зонди для вимірювання спаду напруги на частині зразка між вказаними зондовими контактами (рис. 6)

Величину питомої електропровідності визначають так: через зразок від зовнішнього джерела живлення пропускають постійний струм I, для визначення якого послідовно зі зразком в електричне коло під’єднують еталонний опір із відомим значенням R₀. Оскільки через зразок та еталонний опір проходить однаковий струм, то, використовуючи закон Ома, можна записати:

_, (12)

де: R₀ та R_зр – величини еталонного опору та опору зразка між зондовими контактами; V₀ та V_σ – спад напруги на еталонному опорі та частині зразка між зондовими контактами.

Для вимірювання V₀ та V_σ використовують цифрові вольтметри з великим вхідним опором.

Рис. 6. Розміщення контактів на зразку при вимірюванні питомої електропровідності двозондовим методом: 1, 4 – струмові електроди; 2, 3 – зондові контакти для вимірювання спаду напруги.

Врахуємо співвідношення між опором зразка R_зр та питомим опором ρ:

, (13)

де l – відстань між зондовими контактами; S = a  b – площа поперечного перерізу зразка.

Оскільки _, (14) то використовуючи співвідношення (12) – (14) для обрахунку питомої електропровідності, отримаємо вираз:

_. (15)

При визначенні величини σ для усунення помилок, пов’язаних із можливим виникненням градієнта температури вздовж зразка і, відповідно, додаткової електрорушійної сили,вимірювання спаду напруги на зразку здійснюють при протіканні струму у двох протилежних напрямках.