- •21.Елементи квантової статистики та фізики твердого тіла
- •21.1. Статистичні методи у квантовій механіці
- •21.2. Розподіл Бозе-Ейнштейна та Фермі-Дірака
- •21.3. Властивості функції розподілу для металів
- •21.4. Теплоємність кристалів
- •21.5. Утворення кристалів
- •21.6. Квантова теорія зонної структури кристалів
- •21.7. Основні поняття зонної теорії
- •21.8. Електропровідність металів
- •Б). Квантова теорія електропровідності металів
- •21.9. Надпровідність металів та сплавів
- •21.10. Високотемпературна надпровідність
- •21.11. Теоретичні засади низькотемпературної надпровідності
- •21.12. Електропровідність напівпровідників
- •21.13. Домішкова провідність напівпровідників
- •21.14. Контактні явища у металах
- •21.15. Термоелектрорушійна сила
- •21.16. Напівпровідниковий діод
- •21.17. Напівпровідниковий тріод - транзистор
- •21.18.Контрольні питання
21.8. Електропровідність металів
а). Рівняння динаміки руху електронів. Метод ефективної маси
Для дослідження руху електронів у періодичному полі кристала достатньо записати та розв'язати рівняння другого закону Ньютона
, (1)
де m-класична маса електрона, - сила створена зовнішнім електричним, а- кристалічним полями. Але для цього потрібно описати у явному вигляді, що ми зробити не в змозі. З огляду на це, було запропоновано досліджувати рух електрона у кристалі методом ефективної маси. В основі методу лежить корпускулярно-хвильовий дуалізм електрона: псі-функція електрона у кристалі являє собою хвильовий пакет з несучою частотою, яка є функцією хвильового вектора. У такому випадку покладаємо, що швидкість електрона V співпадає із груповою швидкістю Vгр хвильового пакета
(2)
і може бути визначена через його енергію наступним чином
. (3)
Під дією зовнішньої сили електрон придбаває імпульс, який зв’язаний з нею другим законом Ньютона
. (4)
Величину прискорення електрона можна визначити з (3) таким чином
. (5)
Враховуючи (4), маємо
. (6)
Вираз (6) можна представити у вигляді рівняння другого закону Ньютона для електрона
,
де
(7)
так звана ефективна маса електрона. Цю масу можна тлумачити як міру інертності електрона до дії зовнішньої сили , у просторі періодичного потенціального поля кристала. У такому випадку властивості криcталічного поля закладаються у залежність енергії Е від хвильового вектора . Ця залежність визначається розв'язком відповідного рівняння Шредінгера. Підсумовуючи розглянуте, можна стверджувати, що метод ефективної маси дає можливість розглянути рух електрона у кристалічному полі під дією зовнішнього електричного поля, як рух вільного електрона, згідно рівняння (6).
Знаючи залежність Е від k, можна визначити та характер руху електрона. Наприклад, для одновимірного кристала біля дна першої дозволеної зони (точка А) залежність Е відk квадратична (див.на Мал.227) і співпадає з такою для вільного електрона, тобто:
m.
У точках перегину кривої (точка В) друга похідна від Е(k)
Це означає, що електрони, які знаходяться посередині енергетичної зони, беруть обмежену участь в електропровідності. На верхніх енергетичних рівнях, під стелею першої зони Брилюєна (точка С), Е має максимум:
Це означає, що під дією сили електрони набувають прискорення, протилежного напрямкові цієї сили.
Б). Квантова теорія електропровідності металів
Як показують квантово-механічні розрахунки величина провідності металів з уведенням ефективної маси , по вигляду, співпадає із класичною провідністю
, (8)
де n- концентрація вільних електронів із зарядом e, - час релаксації (фактично час вільного пробігу).
Щодо температурної залежності , то до Т=50 К вона та співпадає з дослідними даними, на відміну від класичної теорії, де.
Зазначимо, що опір направленому рухові електронів під дією зовнішнього електричного поля пов'язаний з розсіюванням їх на тепловому коливальному русі вузлів кристалічної решітки (фононах) та її дефектах, домішках, вакансіях і механічних неоднорідностях.