- •5.Хвилі
- •5.1. Хвильові процеси
- •5.2. Рівняння хвилі, фаза та фазова швидкість
- •5.3. Плоска хвиля
- •5.4. Енергія та інтенсивність хвилі
- •5.5. Інтерференція хвиль
- •5.6. Акустичні хвилі
- •5.7. Ефект Доплера
- •5.8. Стоячі хвилі
- •5.9. Спектр власних частот одновимірних середовищ
- •15.10. Групова швидкість
- •5.11. Диференціальне рівняння хвилі
- •5.12. Контрольні питання
5.Хвилі
5.1. Хвильові процеси
У середовищі частинки зв’язані між собою силами взаємодії. Періодичне невелике зміщення деякої частинки середовища з положення рівноваги викликає зміщення сусідніх частино, тобто коливання одної з таких частинок викликає вимушені коливання інших. Процес розповсюдження коливань в середовищі із деякою швидкістю V називається хвилею. Якщо зміщення частинок від положення рівноваги перпендикулярне швидкості V, то така хвиля називається поперечною, а якщо паралельне V хвиля повздовжня. Швидкість хвилі залежить від сили взаємодії між частинками середовища - чим більша сила взаємодії, тим більша швидкість хвилі. Для твердого тіла
V=,
де Е модуль Юнга, густина речовини. Для повітря (газу)
V==,
де стала адіабати, R універсальна газова стала, Т температура, маса моля речовини, густина повітря (газу), Р тиск газу.
Наведемо деякі визначення характеристик хвильового процесу.
Хвильовий фронт геометричне місце точок середовища, до яких дійшли коливання.
Плоскою називається хвиля, у якої хвильовий фронт є нескінченною площиною.
Сферичною називається хвиля, у якої хвильовий фронт є сферою.
Циліндричною називається хвиля, у якої хвильовий фронт обмежений скінченою площиною.
Промінь уявна крива, дотична до якої визначає напрямок розповсюдження коливань.
5.2. Рівняння хвилі, фаза та фазова швидкість
Рівняння хвилі, що розповсюджується в додатному напрямкові Ох, описує величину відхиленняy матеріальної точки від положення рівноваги, з координатою х в момент часу t і має вигляд
. (1)
Дійсно, нехай джерело коливань розміщено в початку координат, і коливання розповсюджуються в додатному напрямкові осі ОХ із швидкістю(див.Ма.41). В точку з координатою х коливання прийдуть із запізненням на час розповсюдження, і тому рівняння коливання в цій точці в час t запишеться так
(2)
або
. (3)
Остаточно рівняння хвилі запишеться у вигляді
, (4)
де хвильове число.
В (4) косинус є періодичною функцією з періодом , а тому можна визначити її період по координаті х
. (5)
За визначенням довжина хвилі відстань, на яку поширюється хвиля за період коливань Т: =VT. З (4) видно, що довжина хвилі є періодом просторового розподілу коливань частинок середовища.
Якщо коливання розповсюджуються в зворотному напрямі, то х замінюємо на -х і рівняння зворотної хвилі має вигляд
. (6)
Величина в (4) називається фазою хвилі, а - початкова фаза. Зафіксуємо величину фази на рівні сталої С
. (7)
Візьмемо диференціал від лівої та правої частини (7)
. (8)
З (8) можна визначити величину
, (9)
яка називається швидкістю розповсюдження фази коливань або фазовою швидкістю і вона за величиною дорівнює швидкості хвилі.
5.3. Плоска хвиля
Рівняння плоскої хвилі має вигляд:
, (1)
де хвильовий вектор, хвильове число, одиничний вектор нормалі до хвильового фронту.
Дійсно, нехай джерелом коливань є нескінченно велика площина 1 (див. Мал. 42) із нормаллю , що є хвильовим фронтом плоскої хвилі. Площина проходить через початок координат. Нехай рівняння коливання точок в площині 1 має вигляд
=Acos(t+). (2)
Через час t' площина 1 переміститься на відстань d і займе положення 2. Відстань між площинами визначається скалярним добутком , де радіус-вектор деякої точки А на площині. Коливання в цій площині запізнюються на час і будуть мати вигляд
= Acos(t - t' + ) = Acos(t - + ) = Acos(t - kd + ). (3)
Тепер, позначивши, можна записати:
, (4)
що й треба було довести.
Сферична хвиля. Рівняння сферичної хвилі має вигляд
y=cos(t-kr). (5)
Амплітуда сферичної хвилі зменшується обернено пропорційно відстані r від джерела хвиль, а енергія обернено пропорційна квадратові відстані.
Циліндрична хвиля. Циліндрична хвиля описується рівнянням плоскої хвилі з обмеженим деякою плоскою поверхнею хвильовим фронтом.
Спектр частот хвиль. Під частотним спектром хвилі розуміють сукупність частот, якими можна представити дану хвилю.
Хвиля з неперервним спектром частот хвиля, що містить значення частоти коливань в деякому неперервному інтервалі частот від 1 до 2 (див. Мал.43).
Хвиля з лінійчатим спектром частот хвиля, що містить коливання дискретних значень частоти (див. Мал.44).