15.10. Групова швидкість

Експериментально доведено, що будь-яка не синусоїдальна хвиля у лінійному середовищі може бути представлена сумою деяких синусоїдальних хвиль (принцип суперпозиції хвиль). Сукупність частот цих хвиль є лінійним спектром складного хвильового сигнала. Для графічного зображення спектра по осі ОХ відкладаються частоти спектра, а по осі OY їх амплітуди.

В нелінійному середовищі інформаційний сигнал завжди представляється у вигляді складної хвилі і може бути представлений як суперпозиція групи монохроматичних хвиль, що поширюються у середовищі з різними швидкостями. При цьому пакет "розпливається" - форма сигналу змінюється з часом. Для розуміння сутності процесу передачі інформації у часі, покладемо, що такий сигнал, як деяке значення величини амплітуди, передається за допомогою суперпозиції лише двох хвиль з близькими частотами та+d (d<<) і хвильовими числами k та k+dk (dk<<k) у вигляді

(1)

. (2)

Результат додавання таких хвиль дає

. (3)

Швидкість передачі сигналу у вигляді деякої сталої амплітуди, називається груповою швидкістю і вона визначається рівнянням

. (4)

Варіація по зміннимtтаxвід (4) дає таке рівняння

. (5)

З (5) знайдемо групову швидкість u- швидкість поширення сталої амплітуди

. (6)

Групова швидкість u реальному середовищі може бути визначена через фазову швидкість V та довжину хвилі  так

. (7)

Коли фазова швидкість є зростаючою функцією , то (нормальна дисперсія) і групова шкидкість менше фазовоїu<V, а для спадної функції  u>V. У разі відсутності дисперсії групова та фазова швидкості будуть однаковими u=V.

5.11. Диференціальне рівняння хвилі

Рівняння хвилі

є рішенням диференціального рівняння

,

або

, (1)

де V-швидкість поширення хвилі, -оператор суми частинних похідних другого порядку по просторовим змінним x,y,z від (x,y,z), який ще називають оператором Лапласа. Щоб упевнитися в цьому, знайдемо вказані другі частинні похідні від (x,y,z):

,,

,,

,,

,=-².

Знаходячи просторові похідні, ми зважили на те, що скалярний добуток дорівнює. Сума лівих частин других частинних похідних по x,y,z дає

,

а сума правих частин дає

Таким чином, порівнюючи значення  з одержаних рівнянь, маємо

,

або

. (2)

У (2) відношення дорівнює, а тому з (2) остаточно маємо диференціальне рівняння хвилі у вигляді (1).

5.12. Контрольні питання

1. Дайте визначення

   1. хвилі.

   2. поперечної хвилі.

   3. поздовжньої хвилі.

   4. хвильовому фронту.

   5. плоскої хвилі.

   6. сферичної хвилі.

   7. циліндричної хвилі.

2. Наведіть формули для визначення хвилі швидкості хвилі в:

   1. твердому тілі.

   2. газах.

   3. рідині.

3. Виведіть рівняння хвилі.

4. Визначте фазову швидкість та знайдіть вираз для неї.

5. Визначіть:

   1. хвильове число.

   2. довжину хвилі.

6. Запишіть рівняння зворотної хвилі.

7. Виведіть рівняння плоскої хвилі.

8. Запишіть рівняння сферичної хвилі.

9. Дайте визначення неперервного спектру частот хвилі.

10. Дайте визначення лінійчатого спектру частот.

11. Виведіть формулу для енергії хвилі у твердому тілі.

12. Визначіть інтенсивність хвилі.

13. Які хвилі називаються когерентними?

14. Визначіть явище інтерференції хвиль.

15. Запишіть інтерференційний член для інтенсивності хвилі.

16. Знайдіть положення максимумів інтерференції.

17. Знайдіть положення мінімумів інтерференції .

18. Що являють акустичні хвилі?

19. Визначіть звукові шуми.

20. Визначіть звуковий тон.

21. Визначіть основни тон та обертони.

22. Які обертони називаються гармонічними?

23. Визначіть:

    1. тембр звуку,

    2. гучність звуку,

    3. поріг чутності

    4. поріг болевого відчуття

24. Дайте визначення інтенсивності плоскої звукової хвилі.

25. Що являє собою льтразвук?

26. Як можна здійснити генерацію ультразвуку.

27. Що являє собою зворотний п'єзоелектричний ефект?

28. Дайте визначення ефекта Доплера та запимшіть формули для частот.

29. Що являє собою стояча хвиля?

30. Виведіть рівняння стоячої хвилі.

31. Знайдіть положення вузлів та пучностей стоячої хвилі.

32. Визначіть довжину стоячої хвилі.

33. Як можна знайти спектр власних частот тіла.

34. Вивести рівняння для спектра власних частот стовпа повітря в закритій та

35. Напівзакритій трубці.

36. Складіть диференціальне рівняння хвилі.