2.4. Приклади розв’язування типових задач з механіки

2.4.1. Хлопчик кинув з поверхні Землі м’яч під кутом до горизонту з початковою швидкістю . Через м’яч впав на горизонтальний дах будинку. Визначити висоту будинку та відстань, яку пролетів м’яч по горизонталі, вважати, що.

Дано:

Аналіз

Оберемо систему відліку, тілом відліку якої є Земля. Початок системи координат знаходиться в точці, з якої здійснимо кидок. За початок відліку часу візьмемо момент часу, коли тіло кинуто. Оскільки на тіло діє лише сила тяжіння (опором повітря нехтуємо), то координата тіла з часом змінюється так само, як і для прямолінійного рівномірного руху:

Оскільки іто

Координата змінюється так само, як і для прямолінійного рівноприскореного руху:

Оскільки, ,, то.

Отже, , a

Обчислення:

,

Відповідь: висоту будинку рівна , а відстань, яку пролетів м’яч по горизонталі –.

2.4.2. Відстань між двома населеними пунктами автомобіль проїхав із середньою швидкістю за час. Розгін і гальмування тривали, а решту шляху автомобіль рухався рівномірно. Яку швидкістьмав автомобіль під час рівномірного руху.

Дано:	СІ
–?

Аналіз

Зобразимо графік залежності швидкості автомобіля від часу. Ділянка відповідає розгону автомобіля, ділянка– рівномірному руху, ділянка– його гальмуванню. Шлях, що пройшов автомобіль чисельно рівний площі трапеції, яка утворена графіком швидкості:або.

З іншого боку, із означення середньої швидкості: . Отже,

.

Обчислення:

.

Відповідь: швидкість, яку мав автомобіль під час рівномірного руху рівна

2.4.3. До вантажу масою , що знаходиться на похилій площині з кутом нахилу прив’язана нитка, яка перекинута через блок. Визначте за яких значень масивантажу, що підвішений до другого кінця нитки система перебуватиме в рівновазі. Коефіцієнт тертя по похилій нитці. Коефіцієнт тертя по похилій площині дорівнює?

Дано:

Аналіз

Система може перебувати в русі у двох напрямах:

1. вантаж масою рухається вниз, а вантаж масою вгору по похилій площині;

2. вантаж масою рухається вверх, а вантаж масою вниз по похилій площині.

Розглянемо перший випадок. Визначимо максимальне значення маси , за якої система перебуватиме у рівновазі. За цієї умови сила тертя направлена вниз по похилій площині.

Запишемо другий закон Ньютона для кожного з тіл зображених на рисунку.

;

Оскільки, розглядає граничний випадок (початок руху), то вважатимемо Тоді в проекціях на вісі , маємо:

Враховуючи, що , a, то.

Розв’язуючи перші два рівняння, маємо:звідки.

Розглянемо другий випадок. Визначимо мінімальне значення маси , за якої система перебуватиме в рівновазі. Сила тертя між вантажем масою і похилою площиною буде направлена вгору по похилій площині.

Запишемо другий закон Ньютона для кожного з тіл: ;

У проекціях на вісі , маємо:

Оскільки, , а, то, звідси

.

Отже, система тіл перебуватиме в рівновазі за умови:

.

Обчислення:

Відповідь: за таких значень маси вантажу, що підвішений до другого кінця нитки система перебуватиме в рівновазі: .

2.4.4. Кулька масою , підвішена на нитці завдовжки, рухається по колу в горизонтальній площині рівномірно. Визначити кутову швидкість обертання кульки і силу натягу нитки, якщо нитка утворює з вертикаллю кут

Дано:	СІ

Аналіз

Вважаючи нитку невагомою і нерозтяжною, запишемо другий закон Ньютона у векторній формі:

У проекціях на вісі , маємо:

(1)

(2)

де – доцентрове прискорення.

З другого рівняння: .

З першого рівняння: =>. Оскільки

де , маємо=>.

Обчислення:

.

.

Відповідь: кутову швидкість обертання кульки рівна , а сила натягу нитки –

2.4.5.На балку, що лежить на двох опорах і, треба покласти вантаж масою. Довжина балки. На якій відстані від опоритреба розмістити вантаж, щоб він тиснув на неї із силою? Вважаючи масу балки не враховувати.

Дано:

Аналіз

Нехай вісь обертання балки проходить через точку . Звичайно, можна обрати іншу точку, наприкладабо. з умови рівноваги балки випливає рівність для сил:

звідси або.

З умови рівноваги балки маємо рівність для моментів сил відносно точки :звідси.

Обчислення:

Відповідь: на відстані від опоритреба розмістити вантаж, щоб він тиснув на неї із силою.

2.4.6. Під яким мінімальним кутом до горизонту можна приставити до гладенької вертикальної стіни однорідну драбину, щоб вона не впала? Коефіцієнт тертя між драбиною і горизонтальною підлогою .

Дано:

–?

А наліз

На малюнку показані сили, що діють на драбину. Запишемо умову рівноваги драбини в разі відсутності поступального руху:

. Якщо довжина драбини , то умова рівноваги драбини в разі відсутності обертального руху відносно осі, що проходить через точку має вигляд:

=>

Для визначення кута нам достатньо таких рівнянь:

=>

Обчислення:

Відповідь: під кутом до горизонту можна приставити до гладенької вертикальної стіни однорідну драбину, щоб вона не впала.

2.4.7. У нерухомому човні на відстані один від одного сидятьрибалки. Маса човна, маса першого рибалки, другого – . На яку відстань зміститься човен, якщо рибалки поміняються місцями?

Дано:

–?

Аналіз

Нехай рибалки у човні переміщуються по черзі. Записуємо закон збереження імпульсу для переміщення рибалки масою :, (1)

де – швидкість рибалки масоювідносно дна (або берега),– швидкість човна з другим рибалкою відносно берега. Нехай рибалка масоюпересувається відносно човна зі швидкістю. Тоді відповідно до закону додавання швидкостей. (2)

Підставляючи (2) в (1), маємо: .

У проекції на вісь .

Враховуючи, що ,, де– час переміщення рибалки по човну, дістанемо:.

Аналогічно, для рибалки масою , що рухається, знайдемо

Тому : .

Обчислення:

За умови, що загальне переміщення човна.

2.4.8. Визначити амплітуду, частоту і період гармонічних коливань матеріальної точки, якщо її максимальна швидкість під час коливань дорівнює ,а максимальне прискорення – . Вважаючи початкову фазу нульовою, а коливан­ня такими, що відбуваються за законом косинуса, записати рівняння коливань і побудувати його графік.

Дано:

–? –? –?

Аналіз

Максимальна швидкість , (1)

а максимальне прискорення (2)

де – амплітуда;– циклічна частота коливань. Розділивши рівняння (2) на рівняння (1), одержимо

.

Частота коливань .

Амплітуду коливань знаходимо з рівняння (1): .

Обчислення:

.

.

Підставляючи у рівняння коливаньчислові значення амплітуди і циклічної частоти, дістаємо

Графік коливання, виражений формулою (3) показано на рисунку.