умк_Дегтярев_Геодезия_ч.1_2010г

–определение размеров площадного объекта:

–определение периметра;

–определение площади объекта.

Так как площадной объект во многом определяется своей границей, которая по сути, представляет собой линию, то определение положения площадного объекта на плоскости и в пространстве можно свести к определению положения на плоскости и в пространстве линейного объекта по описанным выше методикам: фиксация 2 или 3 точек для плоского и пространственного случая соответственно. Следует иметь ввиду, что форма объекта должна быть неизменной и определенной какими-либо величинами (шаблонами, координатами, измерениями) (рис. 7.19).

Рис. 7.19. Определение положения линии на плоскости (а) и в пространстве (б)

Все вышесказанное об определении положения площадного объекта относится к определению его формы и размера в виде периметра. При этом определение формы чаще всего сводится к какому-либо виду координирования характерных точек объекта – простое координирование, координирование со сглаживанием, шаблоны, а определение размеров в виде периметра – к определению длины кривой одним из описанных выше способов в зависимости от вида кривой.

Вторая составляющая определения размера площадного объекта – его площадь. К основным способам определения площадей на планах обычно относят:

–графический способ;

–аналитический способ;

–механический способ.

При графическом способе определения площадей объектов на плане чаще всего используют следующие виды:

– прямое определение, при котором производят непосредственные измерения необходимых для получения площади величин с плана (напри-

331

мер, длин, углов, их комбинаций) с подстановкой их в соответствующую формулу;

– составное определение, когда приходится разбивать сложную, многоугольную фигуру на ряд простых, чаще всего треугольников, производить замеры необходимых величин на плане и использовать соответствующие формулы. Общую площадь получают как сумму составляющих объект фигур (рис. 7.20, а). Для определения площади треугольника используют формулу Герона – по трем измеренным сторонам, по 2 сторонам и углу между ними, или, если можно хорошо определить высоту треугольника, формулу по стороне и высоте (см. рис. 7.20, б и формулы (7.14а), (7.14б), (7.14в) соответственно):

Вариант с измерением трех сторон треугольника принято считать самым эффективным, так как в нем не требуется измерять углы.

Для определения площадей можно использовать тот факт, что для решения любого n-угольника требуется знать (2·n – 3) его элементов. При этом, количество известных углов не должно быть больше (n – 1), так как один угол всегда может быть вычислен из известных остальных из форму-

лы ∑βi =180° (n −2) .

332

Из рис. 7.22 видно, что высоты трапеции есть разность соответствующих координат по оси X: (Xi – Xj). Основания a и b в формуле для площади трапеции есть просто значение соответствующих координат по оси Y. Подставив комбинации координат в формулу для площади каждой из 4 трапеций и собрав их в (7.16) после простейших преобразований получим вторую из формул в (7.17):

Если (см. рис. 7.22) перпендикуляры опускать на вертикальную ось для образования трапеций и проделать все описанные выше шаги, то получим первую формулу в (7.17). Обычно для контроля вычисления производятся по обеим формулам. В качестве промежуточного контроля используют следующие формулы:

Выражения очевидные, так как используют последовательные разности: последующая координата по ходу минус предыдущая в i-той точке для первой формулы и предыдущая координата по ходу минус после-

334

дующая для второй формулы. При таком суммировании координаты учитываются с противоположными знаками и компенсируют друг друга, приводя к (7.17а).

Очевидно, что объекты на плане, у которых есть необходимость определить площадь, не все являются многоугольником с прямолинейными сторонами. Очень большое количество объектов плана в качестве границы имеет кривую линию. Для определения площадей криволинейных фигур вручную обычно используют следующие способы:

–палеточный;

–механический.

Палетка, это лист прозрачной бумаги, на котором нанесена сетка квадратов, точек или параллельных линий (рис. 7.23).

Рис. 7.23. Палетки для графического определения площадей криволинейных фигур: а) квадратная; б) точечная; в) линейная

При определении площади криволинейной фигуры квадратной палеткой используют приближенный и уточненный способы. Но и тот, и другой способ начинаются с определения площади S0 элементарного квадрата палетки в зависимости от масштаба плана, на котором будет определяться площадь объекта. Для этого необходимо знать достаточно точно сторону квадрата а, перевести её через знаменатель масштаба плана М в единицы местности и все возвести в квадрат:

Длину а целесообразно получать в метрах, чтобы площадь также получить в м2.

При приближенном способе (рис. 7.24, а) квадратная палетка накладывается на определяемую площадь и считается число n1 целых квадратов, которые покрывают объект. Тогда площадь фигуры будет примерно равна

a

Рис. 7.24. Определение площадей криволинейных фигур: а) квадратной палеткой; б) точечной палеткой

Для некоторого уточнения результата считают число n1 не только целых квадратов, но и n2 половинок квадратов и даже можно n3 четвертинок квадратов, которые покрывают объект (см. рис. 7.24а). Тогда уточненное значение площади будет

Очень часто сторону квадрата берут равной 1 – 2 мм. Тогда для определения площади используется (7.19а) или только два члена в (7.19б).

При определении площади точечной палеткой со стороной a считают число точек n, попавших в определяемую площадь (см. рис. 7.24, б). Теперь площадь по точечной палетке можно определить как

Точечная палетка используется достаточно редко.

Наибольшее распространение получила линейная палетка, которая со-

так далее, как на рисунке. Кроме всего, для треугольников необходимо замерить нижние и верхние основания и высоты. Тогда вся площадь криволинейной фигуры будет иметь вид

перевести длины всех измеряемых отрезков по масштабу представления объекта в реальные метры местности, чтобы получить площадь в реальных метрах квадратных. Расстояние между линиями палетки обычно выбирают порядка 2 – 5 мм. При реализации измерений иногда используют метод накопления суммы, чтобы на масштабной линейке сразу получить величину суммы реальных длин в формуле (7.20).

При определении площадей палетками с крупномасштабных топографических планов нет необходимости удерживать десятичные знаки, достаточно целых метров.

Механический способ определения площади подразумевает измерение на плане площади участка с произвольными границами при помощи специальных приборов. Чаще всего используется прибор, называемый планиметром. Наибольшее распространение получил полярный планиметр, схема которого представлена на рис. 7.26. Прибор имеет два основных рычага: полюсный R1 и обводной R2. Точка О полюсного рычага является полюсом планиметра и на нем крепится игла или небольшая лупа с маркером для удобства обвода контура. Другой конец полюсного рычага шарнирно соединен с обводным рычагом в точке b. На одном рычаге обводного ры-

тую деления.

Измерение площади сводится к обводу по контуру участка на плане обводной точкой f. При этом берут отсчет по счетному механизму до обвода контура n1 и после обводаn2. Площадь участка вычисляют по формуле:

где c – цена деления планиметра.

337

Цену деления планиметра определяют, измеряя известную площадь, например, площадь квадрата координатной сетки по обычной методике на основании формулы (7.21), когда площадь фигуры и разность отсчетов известны.

Внешний вид полярного планиметра изображен на рис. 7.27. На обводном рычаге 7 размещены: основная каретка 1 с отсчетным устройством, состоящим из полюсного рычага 3, полюса 4, стеклянной пластинки с обводной точкой 6, шарнирного соединения 8, счетчика полных оборотов 9, счетного колеса 10, верньера 11.

4

3

Рис. 7.27. Внешний вид полярного планиметра (а) и его отсчетного устройства (б)

Отсчет по планиметру состоит из 4 цифр: первая – по счетчику полных оборотов 9 (цифра 6 на рис 7.27, а), вторая – между какими цифрами шкалы счетного колеса 10 находится ноль верньера 11 (цифра 4 на рис 7.27, а), третья – между какими индексами шкалы счетного колеса 10 находится ноль верньера 11 (цифра 5 на рис 7.27, а), четвертая – совпадающий индекс верньера и шкалы (цифра 9 на рис 7.27, а). Окончательный отсчет: 6459. Очевидно, что при снятии отсчета используется принцип линейки.

Обычно последовательность определения площади планиметром сводят к следующим шагам:

1. Определение цены деления c.

338

2.Обвод участка со снятием начального и конечного отсчета с контролем в виде двойного обвода.

3.Определение площади по формуле (7.21). При этом разность отсчетов не должна при двух обводах превышать 5 единиц и только в этом случае берется среднее, которое и используется в формуле.

При обычной методике – двукратный обвод участка – относительная

определяется обычными способами, описанными выше.

На практике достаточно часто приходится определять площадь профильного сечения (рис. 7.29). Очевидно, что площадь сечения ABCD целесообразнее всего определять как сумму площадей i трапеций, в основании которых отметки Hi, а высоты трапеций – расстояния Si. В этом случае об-

где (Нср.)1 – средняя отметка в i-той трапеции.

Рис. 7.29. Определение площади сечения по профилю

339

Метрические объемные задачи на топографических планах. Из

метрических объемных задач обычно не выделяют отдельно задачи на определение положения и формы объекта. В большинстве случаев их можно решить на основе описанных выше задач. Из задач на определение размеров выделяют задачи определения объемов пространственных фигур, отображаемых на топографических планах в виде реальных или проектных горизонталей. Из способов определения объемов обычно выделяют:

–графический способ;

–аналитический способ.

В основе определения объемов линейных или криволинейных фигур графическим способом лежит разделение основной фигуры на некоторые элементарные фигуры с легко вычисляемым объемом. В качестве элементарных фигур обычно используют:

– прямоугольные n-угольные призмы с формулой объема:

где h – высота между сечениями;

S1, S2 – площадиверхнегоинижнегосечениясоответственно(рис. 7.30, в).

– конусообразные фигуры с формулой объема

где h – высота конусообразной фигуры;

Sосн. – площадь основания фигуры (рис. 7.30, г).

– эллипсоидальные (полуэллипсоидальные) фигуры с формулой объема:

где a, b, c – полуоси эллипсоида (рис. 7.30, д).

340