7.12. Проектирование кровельного щита под невентилируемую утеплённую рубероидную кровлю
Исходные данные. Состав кровли– трёхслойный рубероидный ковёр на битумной мастике; цементная стяжка толщиной 20 мм; утеплитель– фибролит толщиной 150 мм, плотностью 400 кг/м3; пароизоляция из слоя рубероида на мастике; кровельный щит; уклон кровли i=1:10, шаг стропил– 1,5 м; район строительства– г.Красноярск (4-й район по снегу).
Эскизный расчёт щита. Принимаем ширину щита равной 2 м, опирание щита на 3 прогона. Длина щита будет равна 2150 – 1=299 см.
Настил щита принимаем одинарным сплошным, с нижней стороны которого подшиты поперечные и диагональные планки, обеспечивающие совместную работу досок настила и пространственную неизменяемость кровельного щита (см. рис. 3.5).
В табл. 7.9 вычисляем нагрузки на 1м2 покрытия.
Т а б л и ц а 7.9 – Нагрузки от кровли, кПа
|
Наименование нагрузки |
Нормативная величина нагрузки |
f |
Расчетная величина нагрузки |
|
1 Постоянная от собственного веса: а) Трёхслойный рубероидный ковёр на битумной мастике б) цементная стяжка =20 мм, =1800 кг/м3
в)
утеплитель–фибролит
г) пароизоляция 2 кг/м2 д) настил щита толщиной 25 мм (ориентировочно) 12,5 кг/м2 е) элементы жёсткости щита (поперечные и диагональные планки) ориентировочно 30% веса настила |
0,12
0,36
0,60
0,02
0,125
0,037 |
1,3
1,3
1,2
1,2
1,1
1,1 |
0,15
0,47
0,72
0,024
0,138
0,04 |
|
И т о г о постоянная
2 Снеговая для г.Красноярска (4-й район) S0 = 1,5 кПа; = 1; так как g/S0=1,26:1,5=0,84>0,8 f=1,4 |
1,26
1,5 |
1,4 |
1,54
2,1 |
=150
мм,
=400
кг/м3;
0,15400=60
кг/м2
Настил щита рассчитываем как двухпролётную неразрезную балку с пролётами l=1,5 м. Вычислим требуемую толщину сплошного настила по формулам:
Для 1-го загружения–
=
,
где q=1,54+2,1=3,64 кПа;
для 2-го загружения–
=
;
из условия требуемой жёсткости
=(l/100)
,
где qн=1,26+1,5=
=2,76 кПа.
Из трёх толщин определяем max=0,023 м=23 мм. Принимаем доски стандартной толщины =25 мм (см. приложение Б СНБ 5.05.01-2000)
Поверочные расчёты настила
Для расчёта настила вырезаем полосу шириной 1 м. Приводим нагрузку к нормальной составляющей
2,74
кН/м,
где
;
arctg
i=arctg 0,1=5,71o.
3,61
кН/м.
Изгибающий момент на средней опоре при 1-м загружении
xl2/8=3,611,52:8=1,02
кНм.
Момент сопротивления и момент инерции расчётной полосы настила равны:
Iх =bh3/12 =1002,53:12=130,2 см4;
Wх =bh2/6 =1002,52:6=104 см3.
Напряжение изгиба при 1-м загружении
’=Mx/Wx
=102:104=0,98
кН/см2=9,8
МПа <
=
Расчёт на 2-е загружение от действия монтажной нагрузки Р=1,2 кН, которая вследствие подшитых снизу диагональных планок считается распределённой на ширину 0,5 м настила, или расчётную полосу настила в 1 м, ведём на 2Р. Изгибающий момент при изготовлении кровли
xl2/8+0,212Plcos
=0,21,52:14+0,2121,20,9951,5=0,78
кНм,
где
=0,04+0,138+0,024=0,2
кН/м.
Напряжения изгиба в монтажной стадии
=M
/Wx
=78:104=0,75
кН/см2=7,5
МПа <
=
Относительный прогиб от нормальной составляющей нагрузки
107130,210-8)=
=1/254<
=1/150.
Прочность и жёсткость настила обеспечены. Поперечные и диагональные планки прикрепляем к каждой доске настила двумя гвоздями 250 мм.
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ КРОВЕЛЬНЫХ НАСТИЛОВ ПОСТРОЕЧНОГО ИЗГОТОВЛЕНИЯ
Одинарные сплошные настилы (рис. 8.1)
Рис. 8.1. Схема одинарного сплошного настила по прогонам или наслонным малоуклонным стропилам.
Рассмотрим
сплошной одинарный настил, опертый на
разрезные прогоны или малоуклонные
стропила пролетом l.
Выразим требуемый момент сопротивления
одинарного прямого настила (l
= a)
для полосы шириной 1 м из условия прочности
на 1-е загружение при
,
откуда
.
Для
прогона
при
,
откуда
;
.
В качестве функции цели рассмотрим приведенный расход древесины на кровельный настил в м3/м2, который вычисляется по формуле
, (8.1)
где
(8.2)
. (8.3)
Условие минимума этой функции цели имеет вид
;
,
откуда
.
После подстановки в эту формулу значений п и и упрощений получаем формулу оптимального шага прогонов из условия прочности прямого настила на 1-е загружение
. (8.4)
Для
косого сплошного настила
=
1,414а,
и тогда
,
откуда
.
Функция
цели в этом случае приобретает тот же
вид
,
где
. (8.5)
Условие оптимума в этом случае дает решение в виде формулы
. (8.6)
Во
втором загружении изгибающий момент
будем определять без учета постоянной
нагрузки: при совместной работе всех
досок при подшитом снизу бруске посередине
пролета
,
и требуемый момент сопротивления в этом
случае
,
откуда
,
при клавишной работе досок при b
= 15 см
=
0,126 а
и требуемый момент сопротивления отдельной доски
,
откуда
.
Приведенный расход древесины для 2-го загружения имеет вид
+
=
,
где
.
Взяв
частную производную
и приравняв ее к нулю, получаем уравнение
,
откуда
.
После подстановки и и упрощений получаем формулу оптимального шага прогонов из условия прочности прямого настила при совместной работе на 2-е загружение
. (8.9)
То же для косого настила
. (8.10)
При
клавишной работе досок
и для прямого настила
, (8.11)
а для косого настила –
. (8.12)
Выразим теперь толщину одинарного настила из условия требуемой жесткости
.
Подставив
,
кПа,
получаем формулу
.
Вычислим требуемый момент инерции прогона
.
Требуемая высота сечения прогона из условия требуемой жесткости
.
Приведенный расход древесины
, (8.14)
где
; (8.15)
. (8.16)
Взяв
частную производную
и приравняв ее к нулю, получаем формулу
оптимального шага прогонов из условия
жесткости
(8.17)
для прямого настила и
- (8.18)
для косого настила.
На основе полученных формул рекомендуется назначать шаг прогонов из условия
,
где
и
- соответственно наименьшее и наибольшее
значения оптимального шага, определенные
из трех величин
(см.
таблицу 8.1)
при заданных величинах q и fm в кПа, l – в м.
Соотношение
рекомендуется
назначать в пределах 1 - 3.
Таблица 8.1 – Сводка формул оптимального шага прогонов (q, fm в кПа, l, а в м)
|
Прямой настил |
Косой настил |
|
При 1-м загружении | |
|
|
|
|
При совместной работе досок при 2-м загружении | |
|
|
|
|
При клавишной работе досок при 2-м загружении | |
|
|
|
|
Из условия требуемой жесткости настила | |
|
|
|
|
Из условия требуемой жесткости настила и прогонов | |
|
|
|
.
.
8.2 Двойной настил по прогонам (рис. 8.2)
Рис.
8.2. Схема двойного настила по прогонам:
а – шаг досок рабочего разреженного
настила;
- шаг прогонов.
Для
полосы шириной 1 м требуемый момент
сопротивления, ширина Втр
и шаг атр
рабочего настила для 1-го загружения
при
;
в общем случае
;
;
.
Приведенный расход древесины для рабочего настила
=
(8.19)
где
. (8.20)
То
же для прогона (см. п. 8.1)
,
где
.
Суммарный приведенный расход древесины
+
(8.21)
Взяв
первую производную
и приравняв ее к нулю, получаем уравнение
-
=
0, откуда оптимальное значение шага
прогона
.
После подстановки и и упрощений получаем формулу
(8.22)
Например,
для
=
3 кПа,
=
13000 кПа,
=
0,03 м,
=
6 м,
=
2,
=
=0,90 м, тогда как при
=
3м,
=
0,6 м. То же при
=
1,5 кПа и
=
6 м
=
0,99 м, а при
=
3 м
=
0,67 м.
Рассмотрим
2-ое загружение для двойного настила. В
этом случае
,
и тогда при
и
=
.
;
. (8.23)
Приведенный расход древесины для рабочего настила
,(8.24)
где
. (8.25)
Суммарный приведенный расход древесины
+
, (8.26)
где (см. (8.3)).
Из условия минимума этой функции цели получаем уравнение
-
=
0, откуда
.
После подстановки и и упрощений получаем формулу оптимального шага через исходные параметры
. (8.27)
Например,
для
=
3 кПа,
=
13000 кПа,
=
0,03 м,
=
6 м,
=
2,
=
=1,28 м.
Рассмотрим условие жесткости настила и прогонов:
;
;
=
. (8.28)
Приведенный расход древесины для рабочего настила
. (8.29)
Приведенный расход древесины для прогонов
. (8.30)
Суммарный приведенный расход древесины рассматриваем как функцию цели:
+
, (8.31)
где
; (8.32)
. (8.33)
Взяв
первую производную
и приравняв ее к нулю, получаем уравнение
-
=
0, откуда
.
После подстановки и и упрощений получаем формулу оптимального шага прогонов через исходные параметры
. (8.34)
Например,
для
=
3
1,2 = 2,5 кПа,
=
0,03 м,
=
6 м,
=
2,
=
=1,98 м.
Окончательно
шаг прогонов назначают из условия
,
где
и
-
соответственно наименьшее и наибольшее
значения оптимального шага прогонов
их трех значений
,
,
.Для
примера при
=
3 кПа,
=
13000 кПа,
=
0,03 м,
=
6 м,
=
2 имеем
=
0,90 м,
=
1,28 м,
=
1,98 м. Диапазон принятия решения для
рассматриваемого примера
.
Разреженный настил (обрешетка) (рис. 8.3)
Особенностью разреженного настила (обрешетки) является то, что она работает на косой изгиб. Обозначения: а0 – шаг обрешетки; ас – шаг стропил (прогонов) – пролет обрешетки.
Требуемый момент сопротивления обрешетки при косом изгибе при 1-ом загружении вычисляем по формуле
,
откуда
.
Приведенный расход древесины на обрешетку
, (8.35)
где
A
=
. (8,36)
Рис.
8.3. Схема обрешётки по стропилам:
- шаг обрешётки;
- шаг стропилин.
Приведенный расход древесины на стропилины (прогоны) определим по формуле (8.1)
, (8.37)
где
.
Функция
цели
+
. (8.38)
Условие
оптимума
= 0;
-
= 0,
откуда
.
После
подстановки
и A
и упрощений получаем формулу оптимального
шага стропилин при заданных параметрах
(
)
. (8.39)
Например,
для стальной кровли
=
0,25 м,
=
0,2 (обрешетка из досок плашмя);
3,
18,43,
0,9486,
=0,3162,
2,
6
м
м.
Оптимальный
шаг стропилин (прогонов) для шифера при
=
0,5 м,
=
1,0 (обрешетка из квадратного брускаb0
h0);
3,
6
м
м.
Рассмотрим 2-ое загружение. В этом случае для обрешетки
,
так
как P
= 1,2 кН,
1,2,
откуда
=
. (8.40)
Приведенный расход древесины на обрешетку
,(8.41)
где
. (8.42)
Функция
цели
+
. (8.43)
Условие
оптимума
= 0 дает уравнение
-
=
0,
откуда
.
После подстановки и D и упрощений получаем формулу оптимального шага стропилин при исходных данных для 2-го загружения
. (8.44)
Например,
для стальной кровли
=
0,25 м,
=
0,2;
2,
6
м имеем
.
Для шифера при
=
0,5 м,
=
1;
2,
6
м,
3
кПа,i
= 1
3,
м.
Рассмотрим условие жесткости обрешетки
=
. (8.45)
Требуемая высота сечения обрешетки из условия жесткости
=
, (8.46)
где
. (8.47)
Приведенный расход древесины на обрешетку
,
где
. (8.48)
Функция цели из условия жесткости обрешетки и стропилины имеет вид
+
, (8.49)
где
.
Условие
оптимума
= 0 дает уравнение
-
=
0,
откуда
.
После подстановки и N и упрощений получаем формулу оптимального шага стропил из условия жесткости
. (8.50)
Например,
для стальной кровли при
=
0,25 м,
=
0,2;
2,
6
м,
i = 1 3 имеем
м.
Для
шифера при
=
0,5 м,
=
1;
2,
6
м,i
= 1
3 имеем
м.
Таким образом, диапазон принятия решения при назначении шага стропилин составляет:
для примера стальной кровли –
;
для примера шиферной кровли –
.
После назначения конкретного шага стропилин из указанного диапазона подбор сечения обрешеток и стропилин выполняется как обычно
(см. п. 2.2).