2.7. Задачи о назначении
Проблема, состоящая в том, чтобы правильно распределить наличные людские ресурсы в соответствии с профессиональными требованиями, актуальна в разных сферах – в армии, в промышленности, в кадровой политике любой структуры. Математическое программирование является одним из важных инструментов в области рационального использования персонала. Центральное место в указанной проблеме занимает задача о назначении. В ней переменные интерпретируются как назначение соответствующего человека на определенную работу. Каждая переменная может принимать лишь значения, равные единице (претендент выбран) или нулю (претендент не выбран). Математическая структура этой задачи следующая:
,
или
,
где
– показатели затрат (или эффективности)
Например, если
выражает время, необходимое человеку
для того, чтобы сменить профессию, или
затраты на переподготовку человека,
то следует делать такие назначения,
при которых общее время или затраты
были бы минимальными. Если же
характеризует профессиональный уровень
в баллах или некоторую эффективность
от использования работника, то целевая
функция
должна быть максимальной. Задача о
назначении является задачей дискретного
программирования, для ее решения могут
быть использованы методы, ориентированные
на распределительные проблемы. Если
рассматривается задача о назначении
с целевой установкой на минимум, то для
ее решения может быть использован ранее
рассмотренный метод потенциалов, при
этом возникает ряд особенностей:
приходится вписывать большое число нулей, что вызывает некоторые затруднения;
прямоугольная фигура перераспределения величин иногда бывает достаточно сложной.
Пример.
Семь претендентов распределяются на 7 участков деятельности. Решается задача на минимум затрат. Последовательность использования претендентов и перераспределения отражены в таблицах 1 – 3.
Таблица 1
|
места
претендент |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
7
|
9
|
3 0 |
6
|
4
|
12
|
4 1 |
0 |
|
1 |
2 0 |
4 1 |
4
|
7
|
8
|
8
|
5
|
–3 |
|
1 |
4 1 |
5
|
6
|
5
|
12
|
7
|
3 0 |
–1 |
|
1 |
3 + |
6
|
8
|
4 0 |
6
|
6 1 |
7
|
2 |
|
1 |
5
|
10
|
9
|
3 1 |
8
|
5
|
4
|
1 |
|
1 |
6
|
9
|
5 1 |
10
|
9
|
6 0 |
7
|
2 |
|
1 |
7
|
4
|
3 0 |
6
|
2 1 |
5
|
4
|
0 |
|
|
5 |
7 |
3 |
2 |
2 |
4 |
4 |
– |
1
Начальное распределение
было выполнено по методу наименьших
тарифов.
.
Данное размещение оказалось не
оптимальным, что привело к необходимости
улучшения решения.
Таблица 2
|
места
претендент |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
7
|
9
|
3 1 |
6
|
4
|
12
|
4 0 |
0 |
|
1 |
2 0 |
4 1 |
4
|
7
|
8
|
8
|
5
|
–3 |
|
1 |
4 0 |
5
|
6
|
5
|
12
|
7
|
3 1 |
–1 |
|
1 |
3 1 |
6
|
8
|
4 0 |
6
|
6
|
7
|
–2 |
|
1 |
5
|
10
|
9
|
3 1 |
8
|
5
|
4
|
–3 |
|
1 |
6
|
9
|
5 0 |
10
|
9
|
6 1 |
7
|
2 |
|
1 |
7
|
4 + |
3 0 |
6
|
2 1 |
5
|
4
|
0 |
|
|
5 |
7 |
3 |
6 |
2 |
4 |
4 |
– |
1
В таблице 2 распределение
нуждается в улучшении.
.
Таблица 3
|
места
претендент |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
7
|
9
|
3 1 |
6
|
4
|
12
|
4 0 |
0 |
|
1 |
2 0 |
4 1 |
4
|
7
|
8
|
8
|
5
|
0 |
|
1 |
4
|
5
|
6
|
5
|
12
|
7
|
3 1 |
–1 |
|
1 |
3 1 |
6
|
8
|
4 0 |
6
|
6
|
7
|
1 |
|
1 |
5
|
10
|
9
|
3 1 |
8
|
5
|
4
|
0 |
|
1 |
6
|
9
|
5 0 |
10
|
9
|
6 1 |
7
|
2 |
|
1 |
7
|
4 0 |
3 0 |
6
|
2 1 |
5
|
4
|
0 |
|
|
2 |
4 |
3 |
3 |
2 |
4 |
4 |
– |
В таблице 3 условие
оптимальности выполняется, конкретные
назначения видны.
.
Если рассматривается задача на максимум эффективности использования персонала, то помимо указанных особенностей существенно меняется алгоритм метода потенциалов:
распределение следует вести по наибольшим показателям эффективности;
располагать нули также следует в клетки с большими тарифами;
условие оптимальности противоположно традиционному – сумма потенциалов для пустых клеток должна быть не меньше тарифа, именно в этом случае будет достигнут максимум.
Пример. Рассмотрим ту же самую матрицу тарифов, предполагая, что в ней указаны показатели эффективности.
Таблица 1
|
места
претендент |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
7 0 |
9 0 |
3
|
6
|
4
|
12 1 |
4
|
0 |
|
|
2
|
4
|
4 1 |
7
|
8 0 |
8
|
5
|
1 |
|
1 |
4
|
5
|
6
|
5
|
12 1 |
7
|
3
|
5 |
|
|
3
|
6
|
8 0 |
4
|
6
|
6
|
7 1 |
5 |
|
1 |
5
|
10 1 |
9
|
3
|
8 0 |
5
|
4
|
1 |
|
1 |
6
|
9 0 |
5
|
10 1 |
9
|
6
|
7 + |
0 |
|
1 |
7 1 |
4
|
3
|
6
|
2
|
5
|
4
|
0 |
|
|
7 |
9 |
3 |
10 |
7 |
12 |
2 |
– |
1
1
Таблица 2
|
места
претендент |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
7 0 |
9 0 |
3
|
6
|
4
|
12 1 |
4
|
0 |
|
1 |
2
|
4
|
4 1 |
7
|
8 0 |
8
|
5
|
–4 |
|
1 |
4
|
5
|
6
|
5
|
12 1 |
7
|
3
|
0 |
|
1 |
3
|
6
|
8 0 |
4
|
6
|
6
|
7 1 |
0 |
|
1 |
5
|
10 1 |
9
|
3
|
8
|
5
|
4
|
1 |
|
1 |
6
|
9 0 |
5
|
10 1 |
9
|
6
|
7 0 |
0 |
|
1 |
7 1 |
4
|
3
|
6
|
2
|
5
|
4
|
0 |
|
|
7 |
9 |
8 |
10 |
12 |
12 |
7 |
– |
.