Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Донбасская национальная академия строительства и архитектуры
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

16_07_15_Konspekt_Lektsiy_dlya_PGS

.pdf
Скачиваний:
52
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
6.05 Mб
Скачать
☆

Рисунок 5.32. Последовательность вычерчивания фасада здания

110

Лекция 6. Вычислительная геометрия геометрических форм

вточечном исчислении Балюбы-Найдыша

∙Основы БН-исчисления как аппарата геометрического моделирования.

∙Различные формы точечного уравнения отрезка прямой, плоскости, пространства.

∙Аналитическое определение точки выхода из плоскости на заданное расстояние.

∙Определение вершины пирамиды по заданному основанию и высоте.

Основы БН-исчисления как аппарата геометрического моделирования

Точечное вычисление относится к разряду прямых вычислений, которые оперируют непосредственно со сложными объектами независимо от системы координат, где эти операции происходят. В качестве объектов алгебраических операций выступают точки, которые изображаются в декартовом симплексе OE1E2 E3 глобальной системы координат. Особенно-

стью БН-исчисления является то, что формулы выражают искомую точку через заданные точки и числа (параметры). Получаются искомые формулы с помощью алгебраических (математических) операций над этими точками и числами. Принципиально важно, что полученные с помощью математических операций точки, после изображения их в глобальной системе координат дают геометрическое решение поставленной задачи. Другими словами – геометрическая задача решается вычислительными методами, а геометрическая составляющая ее решения, сводится только к построению вычисленной точки по ее координатам. Точечная формула дает искомую точку, через ее n декартовых координат. Этого можно ожидать в том случае, если исчисление позволяет покоординатный расчет.

Различные формы точеного уравнения отрезка прямой, плоскости, пространства

Точечное уравнение отрезка прямой. При решении задач в начертательной геометрии может возникать задача деления отрезка АВ, заданного своими проекциями А1В1 и А2В2 в некотором соотношении.

111

Для решения этой задачи применяется теорема ФАЛЕСА (одна из теорем элементар-

ной геометрии): “ Если на одной из сторон угла от его вершины последовательно отложить равные между собой отрезки и через концы этих отрезков провести параллельные прямые,

которые пересекают вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также

равные между собой отрезки”.

Поскольку отношение отрезков, расположенных

 

 

 

 

на прямой является инвариантом параллельного проеци-

 

 

 

 

рования (не изменяется при параллельном проецирова-

 

 

С2

А2

 

 

 

 

 

 

нии), то для деления отрезка на эпюре достаточно разде-

 

 

 

 

лить в необходимом соотношении одну из его проекций

 

 

 

 

(на рис. 6.1 разделена горизонтальная проекция А1В1), а

 

 

 

 

затем по линии связи определяется точка на второй про-

 

 

 

 

екции отрезка (на А2В2 точка С2).

 

 

 

С1

На эпюре, где важно графически изобразить траек-

А1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торию, удобно использовать линейку и только после это-

 

 

 

 

го фиксировать нужную точку на прямой. В вычисли-

 

 

 

 

тельной геометрии нужную точку на прямой вычисляют

 

 

 

 

с помощью точечного уравнения, которое выполняет

Рисунок 6.1. Теорема Фалеса

роль вычислительной линейки.

 

 

 

 

Если концы отрезка заданы координатами А(хА, yА, zА), B(xВ, yА, zА) и АС/AB = λ, тогда точечное исчисление позволяет вычислить точку С:

В2

В1

AC

=

A−C

= λ A − C = λ ( A−

 

AB

 

A−B

 

 

 

x

 

 

 

C

 

 

C = ( B− A)λ + A yC

 

 

 

 

 

 

 

zC

B) C = ( B− A)λ + A,

=( xB −xA )λ + xA =( yB − yA )λ + yA . =( zB −zA )λ + zA

Точечное исчисление предусматривает покоординатный расчет точек. Таким образом, имеем координаты искомой точки С:

При λ = ½точка С делит отрезок пополам (С – центроид отрезка), тогда будем иметь:

C = A+B . 2

112

Если отношение λ принять как параметр t, который принимает значения из области действительных чисел, то текущая точка М прямой АВ определит точечное уравнение прямой:

xC

M = ( B− A)t + A y

CzC

=( xB −xA )t+ xA =( yB − yA )t+ yA . =( zB −zA )t+ zA

Или, в другом виде:

M = At + Bt, где t = 1- t.

Таким образом, поскольку параметр t = АМ/AB, то дополнение параметра до единицы имеет вид:

t = 1 − t = 1 − AM = AB− AM = MB . AB AB AB

Тогда, окончательное точечное уравнение прямой можно записать в виде (рис. 6.2):

M = A×MB+B×AM = Aa+Bb ,

AM +MB

a+b

где a и b – симметричные параметры из области действительных чисел, которые удовлетворяют соотношению:

А

М

В

 

b

 

а

 

 

lAB

Рисунок 6.2. Уравнение прямой

а + b = const = lAB .

Параметры a и b называются стандартными, а уравнение – уравнением прямой в стандартной параметризации.

Если обозначить параметр t через q, а его дополнение к единице – через р, то уравнение прямой будет записано в виде:

113

 

 

 

 

 

 

M = Ap + Bq,

 

 

 

 

 

 

где p+q = 1. Такое уравнение называется уравнением прямой АВ в естественной параметри-

зации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Существует бесконечно много и других параметризаций прямой, каждая из которых

приспособлена к решению определенного вида задач, но естественная и стандартная пара-

метризации составляют основу точечных уравнений. Чтобы задать точку С на прямой АВ

достаточно задать ее параметры (например, рс и qc, причем pc+qc =1 или ac и bc, где ac+bc =

lAB).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы задать отрезок или луч на прямой достаточно указать область изменения пара-

метров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зададим, например, значения параметра t для различных геометрических форм:

 

 

 

Значения параметра t

 

 

Геометрическая форма

 

 

 

 

t = 0

 

 

 

 

 

Точка А

 

 

 

 

 

 

u = 1

 

 

 

 

 

Точка B

 

 

 

 

 

0 ≤ t ≤1

 

 

 

 

 

Отрезок AB

 

 

 

 

 

t³ 0

 

 

 

 

Луч из А направленный к B

 

 

 

t £ 0

 

 

 

Луч из А направлен противоположно B

 

 

t³ 1

 

 

 

Луч из B в направлении обратном А

 

 

t £ 1

 

 

 

 

Луч из B в направлении А

 

 

 

– ∞ < t < ∞

 

 

 

 

 

Прямая АB

 

 

 

 

Точечное уравнение плоскости. Плоскость определяют три ее точки

A, B,C , не

принадлежащие одной прямой, которые образуют треугольник (рис. 6.3). В начертательной

геометрии треугольник графиче-

B

 

 

 

 

 

 

B2

ски изображается двумя проек-

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

M

 

K 2

циями

A1 B1C1

и A2 B2C2 , ко-

M 2

K 2

 

z

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торые

соединяются

линиями

A2

 

 

A2

L2

 

 

C2

B

 

 

 

C2

проекционной связи,

перпенди-

 

K

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

x12

 

 

 

 

кулярными

оси

проекций

x12 .

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

x

 

O

 

 

 

 

Для фиксации

текущей

точки

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M на плоскости выбирают од-

 

M1

K1

 

 

1

 

 

A1

y

 

 

 

 

ну из

ее

проекций,

например

A

M1

K1

 

 

B1

 

1

 

 

 

 

M 2 . Через

M 2

проводят фрон-

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

 

 

 

 

 

тальную проекцию прямой, при-

Рисунок 6.3. Алгоритм задания уравнения плоскости

надлежащей плоскости (напри-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

114

 

 

 

 

 

 

 

мер A2 M 2 K2 ). Определяют горизонтальную проекцию прямой A1K1 с помощью линии

проекционной связи K2 K1 . На A1K1

с помощью линии проекционной связи M2 M1 опреде-

ляется M1 . Две проекции M1 , M 2

точки M однозначно определяют три координаты

M ( x, y, z) , числовые значения которых можно измерить по чертежу.

В вычислительной геометрии координаты x, y, z текущей точки M определяются с помощью точечного уравнения:

M = ( A − C) p + (B − C)q + C,

где p = MK = M1K1 = M2 K2 , q = ML = M1L1 = M2 L2 .

AK A1K1 A2 K2

BL B1L1 B2 L2

Если принять, что r = 1–p–q , то получим уравнение плоскости в естественной параметризации:

M = Ap + Bq + Cr.

Таким образом, уравнение плоскости может определяться симплексом АВС с помощью двух независимых параметров p и q.

Значения параметров p, q, r

Геометрическая форма

p ≥ 0, q ≥ 0, r ≥ 0, p+q+r =1

Треугольный отсек ABC плоскости

p = 1, q = r = 0

Точка А

q = 1, p = r = 0

Точка B

r = 1, p = q = 0

Точка C

p = 0, q + r = 1

Прямая BC

q = 0, p + r = 1

Прямая CA

r = 0, p + q = 1

Прямая AB

p + q + r = 1

Плоскость α(А, B, C)

115

Всимплексе АВС (рис. 6.4) текущую точку

Мможно определить ориентированными площадями:

S = SABC ;SA = SMBC ; SB = SAMC ; SC = SABM .

Точечное уравнение плоскости можно определить через площади ориентированных треугольников, если площади заменить пропорциональными величинами a, b, c, тогда получим уравнение плоскости в стандартной параметризации:

C

MB

MA

SB M

SA

SC

А

MC B

Рисунок 6.4. Задание уравнения плоскости

M = Aa+Bb+Cc .

a+b+c

Точечное уравнение трехмерного пространства. Трехмерное пространство опреде-

ляется симплексом АВСD в виде уравнения (рис. 6.5):

M = AVMBCD + BVAMCD + CVABMD + DVABCM .

VABCD

Однородные параметры в этом уравнении пропорциональны ориентированным объемам, на которые разделяет симплекс точка М:

D

V = VABCD; VA = VMBCD; VB = VAMCD;

VC = VABMD; VD = VABCM.

M

С

Учет ориентации имеет важное значение для задания пространства в точечном исчислении. В точечном исчислении предлагается перейти к символьной наглядности в определении ориентации.

А

В

Рисунок 6.5. Задание уравнения пространства

116

Символьное определение однородных параметров:

1.Прямая: AB a → MB; b → AM .

2.Плоскость: ABC a → MBC; b → AMC; c → ABM .

3.Пространство: ABCD a → MBCD; b → AMCD; c → ABMD; d → ABCM .

Стандартное уравнение пространства имеет следующий вид:

M = Aa + Bb + Cc + Dd . a + b + c + d

Уравнение пространства в естественной параметризации имеет вид:

M = Ap + Bq + Cr + Dg,

где p + q + r + g =1.

Аналитическое определение точки выхода из плоскости на заданное расстояние

Для выполнения построений над плоскостью общего положения АВС введем понятие точки выхода из плоскости на заданное расстояние d.

Определение. Точкой выхода из плоскости, заданной треугольником АВС, называется точка S(syz, szx, sxy) – координатами которой являются действительные числа, равные удвоенным площадям проекций этого ориентированного треугольника.

Точка S имеет следующие свойства:

1.Длина отрезка OS численно равна удвоенной площади треугольника АВС.

2.Прямая OS перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

K

D C d

d

S

A

s

O B

Рисунок 6.6. Задание точки выхода из плоскости

117

Такие же свойства имеет векторное произведение двух векторов, образованных направленными отрезками сторон ориентированного треугольника АВС. Таким образом, точка выхода является точечным аналогом векторного произведения векторов.

Через координаты вершин точка выхода из плоскости треугольника АВС определяется из соотношения:

sABCYZ =

yA

zA

1

 

sABCZX =

zA

xA

1

 

sABCXY =

x A

yA

1

 

yB

zB

1

;

zB

x B

1

;

x B

yB

1

.

 

yC

zC

1

 

 

zC

xC

1

 

 

xC

yC

1

 

Точка D, расположенная на прямой OS, для которой отрезок OD по длине равен числу d, получила название точки выхода из плоскости АВС на величину d:

D = Sd ,

sABC

где SABC – удвоенная площадь треугольника АВС. Так как длина отрезка OS, по определению, равна удвоенной площади треугольника АВС, то получим следующее соотношение:

4sABC2 = ΣOOS = ΣS 2 = (sABCyz )2 + (sABCzx )2 + (sABCxy )2 .

После извлечения корня квадратного, получим искомую удвоенную площадь треугольника АВС.

Точка D успешно используется для построений над плоскостью общего положения. Точка D (рис. 6.6), которая поднимается над плоскостью от точки А на высоту d, определяется из параллелограмма OAKD суммой точек:

K = A + D.

118

Определение вершины пирамиды по заданному основанию и высоте

Рассмотрим практическую задачу конструирования пирамиды АВСК, по заданному основанию АВС и высоте d, которая проецируется в центр тяжести основания (рис. 6.7).

Конструирование пирамиды сводится к определению вершины К.

1. Определим центр тяжести Т треугольника

АВС:

T = A+B+C . 3

2. Вычислим удвоенные площади проекций треугольника АВС (координаты точки выхода S):

K

d

C

А

ТВ

Рисунок 6.7. Конструирование пирамиды

sABCYZ =

yA

zA

1

 

sABCZX =

zA

xA

1

 

sABCXY =

x A

yA

1

 

yB

zB

1

;

zB

x B

1

;

x B

yB

1

.

 

yC

zC

1

 

 

zC

xC

1

 

 

xC

yC

1

 

3. Определим удвоенную площадь треугольника АВС (длина отрезка OS):

s= (sxyABC )2 +(sABCyz )2 +(szxABC )2 .

4.Найдем точку выхода из плоскости D на высоту d:

x

 

=

sABCyz d

; y

 

=

sABCzx d

; z

 

=

sABCxy d

.

D

 

D

 

D

 

 

 

s

 

 

s

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Вычислим координаты искомой вершины К:

xK = xD + xT ; yK = yD + yT ; zK = zD + zT .

Подводя итог лекции, следует отметить, что точечное исчисление, как математический аппарат инженера, позволяет конструировать геометрические объекты, а также линейные и не линейные формы. Как пример, была рассмотрена задача по построению пирамиды.

119

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности