13.3. Теплопроводность твердых тел

С макроскопической точки зрения явление теплопроводности заключается в переносе теплоты Q от более горячего участка тела с температурой Т₁ к холодному участку с температурой Т₂ через плошадь поперечного сечения S в течение времени dt.

. (13.14)

При плотности теплового потока

(13.15)

получим для изотропного твердого тела

, (13.16)

которое называется стационарным уравнением теплопроводности, где  - коэффициент теплопроводности, - перепад (градиент) температуры.

Коэффициент теплопроводности  связан с коэффициентом температуропроводности , плотностью  и удельной теплоемкостью с:

. (13.17)

Размерности  и  в системе СИ:

.

Перенос теплоты в твердых телах осуществляется за счет фононов и электронов. В металлах основными носителями теплоты являются электроны.

Кванты звуковой энергии – фононы ответственны также за скорость движения звука через твердые тела. Скорость звука _зв связана с коэффициентом теплопроводности  и теплоемкостью с

,

где - средняя длина свободного пробега фононов.

Скорость звука в твердых телах связана с упругими свойствами. Скорость распространения продольных волн равна

,

а поперечных волн

,

где E, G – модули упругости и сдвига,  – плотность.

13.4. Тепловое расширение твердых тел

При повышении температуры в твердых телах увеличивается амплитуда и энгармонизм колебаний атомов, что приводит к увеличению числа фононов и их взаимному отталкиванию. В результате расстояния между соседними атомами увеличиваются и тела расширяются.

Коэффициент объемного теплового расширения равен

, (13.18)

откуда при небольших изменениях температуры Т имеем

. (13.19)

Если принять V₀ при 0С, а V при температуре tС, получим

. (13.20)

Для конструкционных материалов чаще используют коэффициент теплового линейного расширения 

, (13.21)

откуда, если при Т₁ = 0С l = l₀, а при Т₂ = tС длину тела принять за l, получим

. (13.22)

Размерность .

При охлаждении тела его объем и длина в первом приближении соответственно будут уменьшаться по закону

и .

На примере тела кубической формы можно установить связь между  и . Из (13.20) и (13.22) следует

,

пренебрегая и, получим

,

и сравнивая с (13.20), получим

. (13.23)

13.5. Зависимость механических напряжений от температуры

а) Термические напряжения в твердых телах в однородном тепловом поле.

Из закона линейного теплового расширения (13.22) имеем

,

откуда . (13.24)

Воспользовавшись законом Гука для продольной линейной деформации и подставляя в (13.24), получим

, (13.25)

откуда видно, что с увеличением температуры растут и механические напряжения.

Аналогичным образом можно связать и объемные напряжения при нагревании тела, если скорость нагрева достаточно медленная.

Поскольку объем тела изменяется при нагреве по закону (13.19), то

,

откуда . (13.26)

Воспользовавшись законом Гука для всесторонней деформации , получим для изотропного тела

(13.27)

б) Напряжения в твердых телах в неоднородном тепловом поле.

Механические напряжения в сплошном бруске, состоящем из различных слоев, охлаждающихся с разной скоростью и имеющем перепад температур по сечению , гдеТ₁ и Т₂ температуры различных слоев бруска, определяются следующими уравнениями

, (13.28)

. (13.29)