9.4. Напряжения при ударе

Явление удара получается в том случае, когда скорость изменения формы тела в месте удара изменяется в очень короткий период времени.

При забивке сваи груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и погружает её в грунт; баба копра, падая, останавливается почти мгновенно, вызывая удар.

Во время удара между ударяющимися деталями возникают весьма большие взаимные давления. Для вычисления силы удара или её реакции и связанных с ней напряжений и деформаций обычно используют закон сохранения механической энергии, когда кинетическая энергия ударяющего тела превращается в потенциальную энергию деформации.

Выражая эту энергию в функции силы (или напряжений) и деформаций, мы получаем возможность вычислить эти величины.

Например, падение тела массойт с высоты h на другое тело, закрепленное на пружине, приводит к деформации этой пружины, т.к. потенциальная энергия тела переходит в энергию деформированной пружины

. (9.27)

Зная величины m, g, h и x можно найти коэффициент жесткости пружины.

Аналогичным образом, можно использовать законы превращения механической энергии и при других видах деформации:

• линейной (или);

• сдвиговой (или);

• всестороннего сжатия (или);

• изгиба (или);

• кручения .

9.5. Упругое последствие

Реальные материалы обнаруживают сложную зависимость деформации от времени, которая не учитывается законом Гука.

После начала действия силы деформация устанавливается не сразу в полной мере (как при ударе). После прекращения действия силы она пропадает не сразу, не целиком; часть её остается и медленно спадает со временем.

На рис. 9.1 показан график зависимости деформации тела  от времени t приложения нагрузки.

Рис. 9.1.

В момент времени t₀ на тело начинает действовать сила. Она быстро приводит к начальной упругой деформации по пути АВ.

За время под влиянием установившейся постоянной силыF (или усилия ) деформация продолжает медленно возрастать со временем по кривой ВС.

Если в момент времени t₁ действие силы прекратить, то деформация вначале быстро убывает по пути СD, а затем спадает медленно по экспоненциальной кривой DЕ.

Таким образом, после прекращения действия силы сохраняется некоторая остаточная деформация ₀, спадающая постепенно и тело медленно восстанавливает свою форму.

Это явление называется упругим последствием.

10. Изгиб и кручение материалов

10.1. Изгиб. Упругая изгибная деформация

Чистый изгиб – это вид изгиба, при котором поперечная сила в сечениях, перпендикулярных к оси балки, обращается в нуль.

На практике, чистый изгиб возможен лишь в случаях, когда собственный вес балки мал по сравнению с величиной внешних сил, приложенных к ней.

Рассмотрим деформацию балки и выделим из нее элемент длинойl₀ = О₁О₂ и рассмотрим удлинение волокна АВ. Линия О₁О₂ называется нейтральным слоем – она после деформации сохраняет свою начальную длину. При деформации изгиба слой АВ испытывает линейное растяжение под действием пары сил  и -. Слои, расположенные выше нейтрального слоя испытывают сжатие (рис. 10.1).

Найдем удлинение волокна АВ. Для малых углов , очевидно, что до деформации

l₀ = R, (10.1)

где R – радиус кривизны нейтрального слоя.

После деформации

l = (R+Z), (10.2)

где Z – расстояние от нейтрального слоя О₁О₂ до волокна АВ.

Абсолютное удлинение при этом равно

. (10.3)

Относительное удлинение  равно

, (10.4)

т.е. удлинения волокон пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Допустив, что при изгибе волокна друг на друга не давят, и что каждое волокно испытывает линейное растяжение (или сжатие), воспользуемся законом Гука , гдеи запишем

. (10.5)

Согласно (10.5) нормальные напряжения на нейтральном слое (Z=0) равны нулю, а при удалении от него увеличиваются и достигают максимального значения у верхнего или нижнего края сечения.

Если толщина балки будет b, то

. (10.6)

Уравнение (10.5) дает только характер распределения нормальных напряжений по сечению, но им нельзя пользоваться при вычислении , т.к. ни R ни Z неизвестны.

Для вычисления , необходимо использовать понятие изгибающего момента М, т.к. при изгибе волокна балки совершают вращательное движение с радиусом кривизны R+Z.

Величина М связана с радиусом кривизны R, модулем упругости Е и моментом инерции J площади сечения балки относительно нейтральной оси:

. (10.7)

Подставляя значения R из (10.7) в (10.5), получим закон Гука для изгибной упругой деформации

. (10.8)

Согласно этого закона, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной оси и обратно пропорциональны моменту инерции сечения относительно нейтральной оси.

Величина момента инерции характеризует способность балки сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы поперечного сечения балки.

Жесткость балки К равна

. (10.9)

Чем больше жесткость балки при изгибе, тем меньше искривится балка под действием изгибающего момента М, т.к. из (10.7-10.9) имеем

. (10.10)

Моменты инерции сплошной однородной балки длиной l с прямоугольным сечением шириной а и высотой b относительно осей y и z имеют вид ; (10.11). (10.12)

Для коробчатого сечения

; (10.13)

. (10.14)

Для круглого сечения цилиндрического тела радиуса r

. (10.15)

Для сечения в форме треугольника АВС произвольной формы момент инерции относительно оси АВ равен

, (10.16)

где b – высота треугольника, а – длина основания треугольника.

На практике из симметричных сечений встречаются чаще всего: для дерева – прямоугольник и круг; для металлов – тавровое и двутавровое сечения.