- •Міністерство освіти і науки, молоді та спорту україни
- •1. Основи теорії похибок
- •1.1. Фізичні виміри та принципи опрацювання їхніх результатів
- •1.2. Типи похибок
- •1.3. Основи теорії випадкової похибки
- •1.4. Вилучення промахів
- •1.5. Врахування приладової похибки
- •2. Опрацювання експериментальних результатів
- •2.1. Прямі виміри
- •2.1.1. Розрахунки з використанням ms Excel
- •2.1.2. Розрахунки з використанням калькулятора
- •2.2. Непрямі виміри
- •2.2.1. Відтворювані умови експерименту
- •2.2.2. Невідтворювані умови експерименту
- •2.2.3. Апроксимація методом найменших квадратів
- •2.2.4. Похибки при одноразовому непрямому вимірі
- •2.2.5. Похибки непрямих вимірів за відтворюваних умов
- •2.2.6. Похибки непрямих вимірів за невідтворюваних умов
- •3. Правила наближених обчислень
- •4. Тест самоконтролю
- •5. Коментарі до питань самоконтролю
- •6. Розрахунково-графічна робота. Похибки прямих вимірювань
- •6.1. Завдання
- •6.2. Приклад виконання завдання
- •7. Розрахунково-графічна робота. Похибки непрямих вимірювань
- •7.1. Завдання
- •7.2. Приклад виконання завдання
- •8. Розрахунково-графічна робота. Лінійна апроксимація
- •8.1. Завдання а для варіантів 01 – 25
- •8.2. Приклад виконання завдання а
- •8.3. Завдання b для варіантів 26 – 50
- •8.4. Приклад виконання завдання в
- •8.5. Завдання с для варіантів 51 - 75
- •8.6. Приклад виконання завдання с
- •8.7. Завдання d для варіантів 76 - 00
- •8.8. Приклад виконання завдання d
- •Література
2.2.4. Похибки при одноразовому непрямому вимірі
Одноразові вимірювання виконуються у тому випадку, коли відомо, що випадкові похибки менші від приладових.
Обчислюється густина пульпи (суміш твердих частинок, завислих у рідині, наприклад мул), що міститься в циліндричній посудині, . Результати одноразових вимірів: маса пульпи, внутрішній діаметр циліндра, рівень пульпи в посудині. Приладові похибки вимірів:,,. Усі приладові похибки даються з надійною ймовірністю. Беручи заокруглене значення числа, ми повинні врахувати похибку заокруглення. В інженерному калькуляторі закладене дуже точне значення числа, і там враховувати похибкуне треба.
Обчислюємо шукану величину:
.
Згідно з (31) границя довірчого інтервалу при надійній імовірності
.
Границя довірчого інтервалу для густини при надійній імовірності
.
Остаточний результат записуємо у вигляді:
із надійною ймовірністю .
Відносна похибка вимірів
.
2.2.5. Похибки непрямих вимірів за відтворюваних умов
Розглянемо експеримент із визначення в’язкості рідини за швидкістю падіння в ній твердої кульки. Кожного разу кидаємо одну й ту саму кульку, ділянка, час проходження якої вимірюється, теж одна й та сама. Отож, виміри виконуються за відтворюваних умов. Коли швидкість кульки усталюється, рівнодійна сил тяжіння, Архімеда та Стокса дорівнює нулю:
. |
(46) |
Звідси
. |
(47) |
Взята з довідника густина матеріалу кульки (сталь) , густина рідини (гліцерин). Довжина відрізку, на якому вимірюється час падіння кульки в рідині, . Прискорення вільного падіння. Діаметр кульки. Систематична (приладова) похибка секундоміра. Результати вимірювань часу падіння кульки та обчислень, необхідних для розрахунку похибки, наведені в табл.2.5.
Таблиця 2.5
Знаходження і
1 |
120,2 |
0,97 |
0,94 |
2 |
121,3 |
0,13 |
0,02 |
3 |
121,8 |
0,63 |
0,40 |
4 |
122,0 |
0,83 |
0,69 |
5 |
120,8 |
0,37 |
0,14 |
6 |
120,9 |
0,27 |
0,07 |
727,0 |
|
2,26 |
Середнє значення часу падіння
.
Обчислюємо середнє значення шуканої величини:
.
Обчислюємо середню квадратичну (стандартну) похибку середнього:
.
Оцінюємо випадкову похибку шуканої величини:
.
Границя довірчого інтервалу для проміжку часу
.
Границя довірчого інтервалу для в’язкості при надійній імовірності
.
Границя довірчого інтервалу для в’язкості при надійній імовірності
.
Остаточний результат записуємо у вигляді:
з надійною ймовірністю .
Оцінюємо відносну помилку вимірів
.
2.2.6. Похибки непрямих вимірів за невідтворюваних умов
Розглянемо експеримент із визначення в’язкості рідини за швидкістю падіння в ній твердої кульки. Кожного разу кидаємо нову кульку, хоча всі інші умови залишаються незмінними. Отож, виміри виконуються за невідтворюваних умов. Чисельні значення такі самі, як і при вимірах за відтворюваних умов. Результати вимірювань діаметра кульки, часу її падіння та обчислень, необхідних для розрахунку похибки, наведені в табл.2.6.
Таблиця 2.6
Експериментальні дані та результати попередніх розрахунків
, mm |
, s |
, |
, |
, | |
1 |
1,0 |
122,2 |
1,452 |
0,001 | |
2 |
1,5 |
54,8 |
1,465 |
0,014 | |
3 |
1,2 |
83,2 |
1,423 |
0,028 | |
4 |
1,1 |
101,4 |
1,458 |
0,007 | |
5 |
1,4 |
63,0 |
1,467 |
0,016 | |
6 |
1,3 |
71,8 |
1,442 |
0,009 | |
|
|
8,707 |
|
Знаходимо значення в’язкості для кожного окремого виміру за формулою (46) і заносимо їх до табл. 2.6.
Обчислюємо середнє значення в’язкості для серії вимірів
.
Обчислюємо середню квадратичну (стандартну) похибку середнього
.
Оцінюємо випадкову похибку шуканої величини
.
Оцінюємо систематичну похибку шуканої величини
.
Щоб знайти найбільше можливе значення похибки, підставляємо у формулу мінімальне значення часу .
Границя довірчого інтервалу для в’язкості при надійній імовірності
.
Границя довірчого інтервалу для в’язкості при надійній імовірності
.
Остаточний результат записуємо у вигляді
з надійною ймовірністю .
Оцінюємо відносну похибку вимірів
.