2.41.Найти проекцию вектора a(2;−3;4) на ось, образующую равные углы с осями координат.

2.42.При каком значении λ векторы p(−λ;3;2) и q(1;2;−λ) ортогональны?

2.43.Найти векторы единичной длины, перпендикулярные оси Ox и вектору a (5;−3;4) .

2.44.Найти вектор единичной длины, перпендикулярный оси Oz и вектору a(12;5;−13) и образующий острый угол с осью Ox .

2.45. Найти вектор единичной длины, ортогональный векторам a(1;−3;0) и b (−3;3;4) и образующий тупой угол с осью Oy .

2.46. Найти все векторы, ортогональные векторам a (1;1;−1) и b (1;−5;1) .

2.3. Векторное и смешанное произведение векторов

c

b

Рис.2.6 a

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c , обозначаемый c =[a ,b] и удовлетворяющий следующим условиям:

1)| c |=| a | | b | sin (a ,b) ;

2)вектор c ортогонален векторам a и b ;

3)тройка векторов a , b , c – правая.

41

Основные свойства векторного произведения:

1)[a ,b] = −[b ,a];

2)[λa ,b] =[a ,λb] = λ [a ,b];

3)[a ,b +c] =[a ,b] +[a ,c];

4)[a ,b] = 0 a и b коллинеарны.

Если векторы a (x1 ; y1 ; z1) , b (x2 ; y2; z2 ) заданы координатами в ортонормированном базисе, то

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , может быть найдена по формуле

Пример 2.8. Найти площадь треугольника с вершинами A(2;−1;4) ,

B(3;1;6), C(6;2;9) .

Следовательно,

SABC = 12 42 +32 + (−5)2 = 5 22 .

42

Смешанным произведением векторов a , b , c называется число, обозначаемое (a ,b ,c) и равное скалярному произведению вектора [a ,b] на вектор c , т.е. (a ,b ,c) = ([a ,b],c) .

Основные свойства смешанного произведения:

1)([a ,b],c) = (a ,[b ,c]) ;

2)(a ,b ,c) = (c ,a ,b) = (b ,c ,a) = −(c ,b ,a) = −(b ,a ,c) = −(a ,c ,b) ;

3)(a ,b ,c) = 0 a , b , c компланарны;

4)(a ,b ,c) > 0 тройка векторов a , b , c – правая.

Если векторы a (x1 ; y1 ; z1), b (x2 ; y2; z2 ) , c(x3 ; y3 ; z3) заданы координатами в ортонормированном базисе, то

Объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , может быть найден по формуле

Пример 2.9. Доказать, что точки A(1;2;3), B(2;4;1), C(1;−3;6) и D(4;−2;3)

лежат в одной плоскости.

Р е ш е н и е. Точки A, B, C , D лежат в одной плоскости тогда и только

что и требовалось доказать.

43

Пример 2.10. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами

следовательно, VABCD = 1566 = 26.

Задачи для самостоятельного решения

2.47.Найти |[a ,b] |, если | a |= 2, | b |= 8, (a ,b) = π6 .

2.48.Найти |[a ,b] |, если | a |=1, | b |=10, (a ,b) = 8 .

2.49.Найти и построить вектор c =[a ,b], если:

а) a = 2i , b = 3k ; б) a = i + j , b = i − j ; в) a = 3i + 2 j , b = 2 j +3k .

2.50. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 2i + k и

b= j + 2k .

2.51.Доказать равенство [2a +b ,a + 2b] = 3[a ,b] .

2.52.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 2 p + q и

b= p +3q , где | p |=| q |=1, ( p,q) = π6 .

2.53.Известно, что | p |=| q |= 5 , и ( p,q) = π4 . Найти площадь треугольника,

построенного на векторах a = p −2q и b = 3p + 2q .

44

2.54. Дан параллелограмм ABCD . Известно, что AC = 2 p −q , BD = 5 p −4q , где

| p |=| q |=1, и ( p,q) = π4 . Найти площадь параллелограмма.

2.55. Даны вершины A(3;−1;4), B (2;4;5), C (4;4;5) треугольника. Найти его площадь.

2.56.Даны вершины A(1;− 2;8), B (0;0;4), C (6;2;0) треугольника. Найти длину высоты треугольника, проведенной из вершины B .

левой:

а) a (1;−1;3), b (2;3;−1), c (1;9;−11) ;

б) a (3;−1;2), b (2;1;−1), c (3;−2;1) ;

в) a (4;1;1), b(−6;2;−4), c (2;0;3) .

2.59. При каком значении α векторы a (7;α;−13), b (1;−2;1) и c (3;1;−2) компланарны?

2.60. Определить, лежат ли следующие точки в одной плоскости:

а) A(1;2;−1), B (4;1;5), C (−1;2;1), D (2;1;3) ;

б) K(4;2;3), M (−2;3;1), N(0;1;−4), P(5;−2;2) .

2.61. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a (1;5;−1), b (3;1;−2), c (−4;0;3) .

2.63.Даны вершины пирамиды: S (0;3;7), A(2;0;4), B (0;0;6), C (4;3;5) . Найти длину ее высоты, проведенной из вершины S .

45

2.64.Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен V . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a = AC , b = AB1 , c = AD1 .

2.4. Векторное пространство n . Ранг и базис системы векторов

Упорядоченный набор n действительных чисел x = (x1 ; x2 ; ; xn )

называется n -мерным вектором, а числа xi , i =1 , , n – компонентами вектора x .

Два вектора x = (x1 ; x2 ; ; xn ) и y = (y1; y2; ; yn ) называются равными, если равны их соответствующие компоненты, т. е. xi = yi , i =1, ,n .

Суммой двух n -мерных векторов x и y называется вектор компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

Произведением вектора x на число λ называется вектор λx , компоненты которого равны произведению числа λ на соответствующие компоненты вектора x , т.е. λx = (λx1;λx2; ;λxn ).

Множество всех n -мерных векторов с введенными операциями сложения и умножения называется векторным пространством n .

46

Отметим некоторые свойства линейно зависимых систем векторов.

1. Система векторов x1, x2, , xk линейно зависима тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из векторов системы линейно выражается через другие.

2.Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

3.Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Пример 2.11. Выяснить, являются ли линейно зависимыми следующие системы векторов:

Р е ш е н и е : а) очевидно, вектор x4 выражается линейно через векторы x1 , x2 , x3 следующим образом: x4 = 2x1 +3x2 + x3 , следовательно, система линейно зависима;

б) приравняв компоненты векторов в левой и правой частях равенства λ1x1 +λ2x2 +λ3x3 = 0 , получим систему линейных однородных уравнений:

Определитель системы

следовательно, система (2.17) имеет единственное решение λ1 = λ2 = λ3 = 0 , и система векторов x1 , x2 , x3 линейно независима;

47

в) как и в пункте б) составим систему уравнений

Система (2.18) имеет бесконечно много решений, которые можно записать в виде λ1 = λ3 , λ2 = −2λ3 , λ3 . Условие (2.16) выполняется для

данной системы векторов при ненулевых значениях чисел λ1 ,λ2 ,λ3 (в

система линейно зависима.

Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов данной системы. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из компонент векторов системы.

Ранг векторного пространства n называется размерностью пространства и равен n .

Базисом системы векторов называется упорядоченная совокупность r линейно независимых векторов данной системы, где r – ранг системы.

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Пусть e1 ,e2 , ,er – базис системы векторов. Каждый вектор x данной системы можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса:

e1 ,e2 , ,er , а числа x1 , x2 , , xr – координатами вектора x в данном базисе.

Как и для геометрических векторов, координаты n -мерного вектора в фиксированном базисе будем записывать в круглых скобках после буквенного обозначения вектора: x(x1, x2, , xr ) .

48

Пример 2.12. Найти базис системы векторов и определить координаты векторов системы в найденном базисе:

поэтому базис системы содержит не более трех векторов. Определитель, составленный из компонент векторов

x1 =1 x1 +0 x2 +0 x3 , x2 = 0 x1 +1 x2 +0 x3 , x3 = 0 x1 +0 x2 +1 x3 ,

то в базисе x1 , x2 , x3 имеем: x1(1;0;0), x2 (0;1;0), x3(0;0;1) .

Для того, чтобы найти координаты вектора x4 в базисе x1 , x2 , x3 , распишем равенство x4 =α x1 + β x2 +γ x3 покоординатно:

Решив полученную систему, найдем α = 3, β = −2, γ = 3, т.е. x4 (3;−2;3) в

49

Ранг матрицы A, а следовательно, и ранг системы векторов равен 3. Базис системы образуют векторы, соответствующие строкам полученной ступенчатой матрицы, т.е. (будем считать, что на последнем шаге преобразований мы вычеркнули третью строку, так как ее элементы пропорциональны соответствующим элементам четвертой строки).

В найденном базисе имеем: y1(1;0;0), y2 (0;1;0), y4 (0;0;1) . Пусть y3 =α y1 + β y2 +γ y4 . Как в пункте а) составим систему уравнений

α − β +2γ = 4,2α +3β −γ = 3,α + 2β = 3,2α + β +γ = 5,

решив которую, найдем α =1, β =1, γ = 2 , т.е. y3(1;1;2) в базисе y1 , y2 , y4 .

Задачи для самостоятельного решения

2.67.Определить, являются ли линейно зависимыми следующие системы векторов:

а) x1 = (1;0;0;0), x2 = (0;1;0;1), x3 = (1;1;0;1) ;

б) x1 = (1;3;2;−1), x2 =(3;4;3;0), x3 = (2;1;1;1) ;

в) x1 = (1;0;0;0), x2 = (0;1;0;0), x3 = (1;1;0;1) ;

г) x1 = (1;1;1;1), x2 = (0;0;1;1), x3 = (2;2;3;3) ;

д) x1 = (1;1;1;1), x2 = (0;1;1;1), x3 = (0;0;1;1), x4 = (−1;−1;0;0) .

2.68.Установить, существует ли линейная зависимость между векторами следующих систем:

а) x1 = (1;3;−1), x2 = (0;2;1), x3 = (0;0;5) ;

б) x1 = (3;2;3), x2 = (2;0;2), x3 = (−1;−1;4) ;

50

2.69.Найти ранг системы векторов:

а) x1 = (−4;6;2), x2 = (2;−3;−1), x3 = (−6;9;3) ;

б) x1 = (2;3;1), x2 = (0;2;1), x3 = (2;5;2) ;

2.70.Найти базис системы векторов. Записать координаты векторов системы в найденном базисе:

2.71.Векторы x1 , x2 , x3 образуют линейно независимую систему. Будет ли линейно независимой система 3x1 , x1 − x2 , x3 − x2 ?

2.72.В базисе e1 , e2, e3 даны векторы x = 2e1 −αe2 +6e3 , y = e1 + 4e2 + β e3 . При каких значениях α и β они линейно независимы?

2.73.Дан базис e1 , e2, e3 . Проверить, образуют ли базис следующие системы векторов:

51