- •1.1. Матрицы. Операции над матрицами
- •1.2. Определители и их свойства. Правило Крамера решения системы линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •1.5. Ранг матрицы. Теорема о совместности системы линейных уравнений
- •Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведение векторов
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Совместное исследование уравнений прямых
- •3.4.1. Эллипс
- •3.4.2. Гипербола
- •3.4.3. Парабола
- •3.5. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5.1. Плоскость в пространстве
- •3.5.2. Уравнения прямой в пространстве
- •3.5.3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве
- •3.6. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •Глава 4. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •6.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •6.2. Дифференцирование функций
- •6.3. Дифференциал функции
- •6.4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6.5. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •6.6. Основные свойства дифференцируемых функций
- •6.7. Исследование функций
- •6.8. Предельный анализ в экономике
- •Ответы
- •Литература
1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
Рассмотрим квадратную матрицу
a11
A= a21
an1
a12 |
a1n |
a |
a |
22 |
2n . |
|
|
an2 |
|
ann |
Матрица А называется невырожденной, если ее определитель det A ≠ 0 ,
и вырожденной, если det A = 0.
Матрица A−1 называется обратной для матрицы |
А, если |
AA−1 = A−1A = E , где E – единичная матрица n -го порядка. |
|
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Обратная матрица находится по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
|
|
A |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
21 |
|
|
n1 |
|
|
|
A |
−1 |
= |
|
|
1 |
|
A12 |
A22 |
An2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(1.8) |
|||
|
|
det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
2n |
|
|
A |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
где Aij – алгебраические дополнения элементовaij . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
−3 |
|
Пример 1.9. Найти обратную матрицу для матрицы A = |
6 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Р е ш е н и е. Находим |
|
|
|
|
|
det A = |
|
−2 |
−3 |
|
=10 ≠ 0. Далее выписываем |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
|
|
|
|
|
алгебраические дополнения элементов матрицы A: |
|
|
|
|||||||||||||||
A = (−1)1+1 |
4 = 4, |
A = (−1)1+2 6 = −6 , |
|
|
||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||
A = (−1)2+1 (−3) = 3, |
A |
22 |
= (−1)2+2 (−2) = −2 . |
|
||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A−1 = |
|
1 |
4 |
3 |
|
|
0,4 |
0,3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
−6 |
−2 |
|
|
−0,6 |
|
−0,2 |
|
|
16
Проверим результат умножением:
|
AA−1 = |
|
−2 |
−3 |
0,4 |
0,3 |
|
|
|
|
−0,8 +1,8 |
|
−0,6 + 0,6 |
= |
1 |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2,4 − 2,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= E . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0,6 |
|
−0,2 |
|
|
1,8 −0,8 |
|
0 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Аналогично проверяется равенство A−1A = E . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
Пример 1.10. Найти обратную матрицу для матрицы A = 0 |
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
Р е ш е н и е.Вычисляем det A = −24 ≠ 0 . Находим алгебраические |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дополнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A = (−1)2 |
|
|
6 3 |
|
|
= 3; |
A = (−1)3 |
|
|
0 5 |
|
|
|
= −5; A = (−1)4 |
|
|
0 5 |
|
|
|
= −30 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
−1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A = (−1)3 |
|
0 3 |
|
= 3; |
A |
22 |
= (−1)4 |
|
2 5 |
|
= −5 ; |
|
A |
32 |
= (−1)5 |
|
2 5 |
|
|
= −6 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A = (−1)4 |
|
0 |
|
6 |
|
= −6 ; A = (−1)5 |
|
2 |
|
0 |
|
= 2 ; |
A = (−1)6 |
|
2 0 |
|
|
=12. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
−5 −30 |
|
−1 8 5 24 |
|
|
|
5 4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
Таким образом, A |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= − |
|
|
|
|
3 |
−5 −6 |
|
= |
−1 8 5 24 |
1 |
4 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
24 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 12 |
|
|
|
1 4 −1 12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
Результат проверяем умножением: AA−1 = A−1A = E . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x + a x + + a |
x = b , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 1 |
12 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1n |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
+ a x |
+ + a |
x |
= b , |
|
|
|
|
|
|
(1.9) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 1 |
22 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
+ a |
x |
+ + a x |
= b . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 1 |
|
n2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
nn |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
называется матрицей системы (1.9). |
|||||||||||||||||||||||||
|
Матрица A = |
21 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
|
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
x1 |
|
|
b1 |
|
||
x |
|
, |
b |
|
||
Обозначим также X = |
2 |
|
B = |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
b |
|
||
|
n |
|
|
|
n |
|
Систему (1.9) теперь можно записать в виде матричного уравнения: |
||||||
|
|
|
|
AX = B . |
(1.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (1.10) называется матричной формой системы (1.9). Пусть матрица A имеет обратную матрицу A−1 . Умножив обе части равенства (1.10) на A−1 слева, получим
A−1AX = A−1B ,
откуда, учитывая, что A−1A = E и EX = X , имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = A−1B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.11) |
|||||
|
Равенство (1.11) называется матричной записью решениясистемы (1.9). |
|||||||||||||||||||||||||
|
Пример 1.11. Решить систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2x + 4x = 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + x2 −7x3 =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 − 4x2 + 2x3 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Р е ш е н и е. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 −2 |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−7 |
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 2 1 |
, |
X = x2 |
|
B = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 −4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Находим det A = −20 и обратную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−26 |
−12 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
−25 |
−10 −15 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Далее по формуле (1.11) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
1 |
−26 |
−12 10 3 |
|
1 |
|
−78 −12 +30 |
|
|
1 |
−60 |
|
3 |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 |
= − |
|
|
−25 |
−10 15 1 |
= − |
|
−75 |
−10 + 45 |
= − |
|
−40 |
= |
2 . |
||||||||||||
20 |
20 |
20 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x3 |
|
|
|
−2 5 3 |
|
|
|
|
|
−33 − 2 +15 |
|
|
|
|
−20 |
|
1 |
|
||||||||
|
Решение |
данной |
системы |
x1 = 3, x2 = 2, x3 =1. |
|
Правильность |
решения |
проверяем подстановкой в уравнения системы.
18
Пример 1.12. Решить матричное уравнение
|
|
|
−2 |
−3 |
|
10 |
5 |
|
|
|
||
|
|
X |
6 |
|
|
= |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
−2 |
|
|
||
Р е ш е ни е. Обозначим A = |
−2 |
−3 |
. Умножим обе части уравнения |
|||||||||
|
6 |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0,4 |
|
0,3 |
|
(см. пример 1.8). Получим |
|||||
справа на матрицу A−1 = |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−0,6 |
|
−0,2 |
|
|
|
|
|
|||
10 |
5 0,4 |
0,3 |
= |
|
4 −3 |
|
3 −1 |
|
1 |
2 |
||
X = |
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
= |
. |
|
2 |
−2 −0,6 |
−0,2 |
|
0,8 +1,2 |
+ 0,4 |
2 |
1 |
Задачи для самостоятельного решения
1.16. Найти матрицу, обратную данной:
а) 2 |
1 ; |
б) |
3 |
−5 |
; |
в) −3 |
−8 ; |
|
|
г) cosα |
1 |
; |
|||
7 |
4 |
−4 |
7 |
|
|
2 |
|
6 |
|
|
sin2 α |
−cosα |
|
||
д) a |
b |
; |
|
0 |
2 −1 |
|
3 |
1 |
|
−5 |
1 2 |
1 |
|||
е) −2 |
−1 2 ; |
ж) 1 |
2 |
|
|
4 ; з) |
4 3 |
−2 . |
|||||||
c |
d |
|
|
3 |
−2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
−5 −4 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
−1 |
−1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
1.17. При каком значении λ матрица A = |
|
|
4 |
4 |
|
не имеет обратной? |
|||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1.18. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
x + 4x −5x = 8, |
x + x −3x = 4, |
x + 2x − x = 3, |
||||||||
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
а) 2x1 +3x2 − 4x3 = 9, |
б) x1 − x2 +5x3 = −4, |
в) 5x1 +12x2 − 2x3 = −1, |
||||||||
x − 2x − x = 6; |
|
|
x −6x = 5; |
|
4x + 9x − 2x = 2. |
|||||
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
1.19. Решить матричное уравнение:
2 |
5 |
2 |
1 |
; |
4 |
6 |
1 |
1 |
; |
а) X |
|
= |
|
б) |
|
X = |
|
||
1 |
3 |
1 |
1 |
|
6 |
9 |
1 |
1 |
|
3 |
−1 |
5 |
6 |
14 16 |
|
1 |
1 |
−1 |
1 |
−1 3 |
||||
; |
г) X 2 |
1 |
0 |
|
= 4 |
3 2 . |
||||||||
в) |
|
X |
|
= |
9 |
|
||||||||
5 |
−2 |
7 |
8 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
−2 5 |
19