Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика.Практикум.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3317 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Глава 4. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления

Везде далее в этом параграфе под множествами будут пониматься числовые множества, т.е. множества, состоящие из действительных чисел.

Множество всех действительных чисел будет обозначаться буквой R .

Понятие функции. Область определения и область значений функции.

Если каждому числу x из некоторого множества X по определенному правилу f поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x), где x называется независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной.

Множество X называется областью определения данной функции и обозначается D( f ), а множество всех чисел y , соответствующих различным числам x X ,– областьюзначений(изменения)функциииобозначается E( f ) .

Если числу x0 из области определения функции f (x) соответствует некоторое число y0 из области значений, то y0 называется значением функции в точке x0 (или при x = x0 ).

График функции и способы ее задания. Если задана декартова прямоугольная система координат Oxy , то графиком функции f (x) называется

множество всех точек плоскости с координатами (x, f (x)) .

Основными способами задания функции являются аналитический (формульный), графический и табличный. При аналитическом задании функции y = f (x) часто не указываются области D( f ) и E( f ) , но они естественным образом определяются из свойств функции y = f (x).

Пример 4.1. Найти область определения и область значений функций:

1) f (x) =	1	arcsin 2x ;	2)	f (x) = lg(4 −3x − x2 ) .
1) f (x) =		arcsin 2x ;	2)	f (x) = lg(4 −3x − x2 ) .
	π
Решение: 1) функция			f (x) = arcsin x определена на промежутке			[−1;1],
поэтому областью определения D( f )				данной функции является отрезок	−	1	;	1	.
						2		2

131

В силу того, что справедливо неравенство −			π	≤ arcsin 2x ≤	π	, областью значений
			2		2
E( f ) функции f (x) =	1	arcsin 2x также будет промежуток			−		1	;	1	;
E( f ) функции f (x) =		arcsin 2x также будет промежуток			−		2	;	2	;
	π						2		2

2) логарифмическая		функция	определена, если		4 −3x − x2 > 0 . Корни
квадратного	трехчлена	x1 = −4 ,	x2 =1.	Записанное	выше неравенство
равносильно	неравенству	−(x + 4)(x −1) >		0, решая которое выясняем, что

область определения D( f ) данной функции есть интервал (−4;1) . Поскольку в

области определения имеет место неравенство 0 < 4 −3x − x2 ≤				7	, то областью
				4
	−∞; lg	7
значений E( f ) функции будет интервал	−∞; lg	4	.
		4
Четность и нечетность функции. Функция			y = f (x) называется четной,

если множество D( f ) симметрично относительно нуля и для любого x D( f ) справедливо равенство f (−x) = f (x) .

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f (x) называется нечетной, если множество D( f ) симметрично относительно нуля и для любого x D( f ) справедливо равенство f (−x) = − f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Периодичность функции. Функция y = f (x) называется периодической,

если существует такое положительное число T ≠ 0 , называемое периодом

функции, что для любого	x D( f ) выполняются соотношения x +T D( f ),
f (x +T ) = f (x) .
Наименьшим же периодом функции называется наименьшее
положительное число τ ,	для которого f (x +τ) = f (x) при любом значении

аргумента x . Следует иметь в виду, что в этом случае f (x + kτ) = f (x) , где k – любое целое число.

132

Пример 4.2. Определить, какие из данных функций четные, какие – нечетные, а какие – общего вида:

1) f (x) = 3x4 3				+ 2sin x ;	2)	f (x) = 5x −5−x ;			3) f (x) = ex − 2e−x ;
1) f (x) = 3x4 3			x	+ 2sin x ;	2)	f (x) = 5x −5−x ;			3) f (x) = ex − 2e−x ;
4) f (x) = ln	x	−7e−x4 ;			5)	f (x) = ln	2 − x	.
							2 − x

							2 + x
							2 + x

Решение: 1) D( f ) = (−∞;+∞), т.е. область определения функции симметрична относительно начала координат. Кроме того, имеет место

цепочка	равенств	f (−x) = 3(−x)4 3				+ 2sin(−x) = −3x4 3			− 2sin x = − f (x) .
					−x			x
Следовательно, данная функция является нечетной;
2)	D( f ) = (−∞;+∞)		и	f (−x) = 5−x +5−(−x) = f (x) ,			т.е. данная функция –
четная;
3)	D( f ) = (−∞;+∞)		и	f (−x) = e−x − 2ex ≠ ± f (x) ,			т.е. данная функция

является функцией общего вида;

4)D( f ) = (−∞;0) (0;+∞) и f (−x) = ln −x −7e −(−x)4 = ln x −7e −x4 = f (x) ,

т.е. данная функция – четная;

5)D( f ) = (−2;2), т.е. область определения функции симметрична

относительно нуля. К тому же f (−x) = ln	2 + x		2 − x −1			2	+ x	= − f (x),
	2 − x	= ln	2		= −ln	2	− x
				+ x

т.е. функция нечетная.

Пример 4.3. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует:

1)	f (x) = cos3x ;		2)		f (x) = sin2 2x ;
3)	f (x) = sin 2x + cos5x ;		4)		f (x) = 3x4 +1.
Решение: 1)		число	2π		является		наименьшим	положительным
периодом функции cos x . Покажем,					что наименьший положительный период
функции	f (x) = cos3x	есть	число			2π .	Действительно,	cos3(x + 2π ) =
						3		3
= cos(3x + 2π) = cos3x , т.е. T =			2π	– период данной функции. С другой стороны,
= cos(3x + 2π) = cos3x , т.е. T =			3	– период данной функции. С другой стороны,
			3
если T1 > 0 – какой – либо другой период данной функции,								то cos3(x +T1) =

133

= cos(3x +3T1) = cos3x для всех значений аргумента x . Отсюда следует, что 3T1 – периодфункции cost, где t = 3x ,атогда 3T1 ≥ 2π ,т.е. T1 ≥ 23π .

Итак, число T = 23π – наименьший положительный период функции

f(x) = cos3x ;

2)период даннойфункции совпадаетспериодом функции cos4x , так как.

f(x) = sin2 2x = 1−cos2 4x . Рассуждая как в пункте 1), можно показать, что

наименьший положительный период функции cos4x равен 24π = π2 . Таким

образом,наименьшийположительныйпериодфункции f (x) = sin2 2x равен π2 ;

3) наименьшие положительные периоды функций sin 2x и cos5x равны соответственно π и 25π (см. пункты 1) и 2)). Наименьший положительный

период суммы этих функций будет равен наименьшему общему кратному их периодов, т.е. числу 2π ;

4) для положительных значений аргумента x функция f (x) = 3x4 +1 определена и возрастает, поэтому периодической быть не может. Значит, и на всей числовой оси функция не является периодической.

Сложная функция. Пусть область значений функции y = f (x) содержится в области определения функции g(y). Тогда на множествеD( f ) определена функция z = g( f (x)), которая называется сложной функцией или композицией функций f и g и обозначается g f .

Пример 4.4. Найти сложные функции g f и f g , если:

f (x) = x2 , g(x) =

;

f (x) = 3x2 −1, g(x) = sin x .

Решение: 1)

по

определению композиции функций имеем

, ( f g)(x) = f (g(x)) = (

)2 = x , x ≥ 0 ;

(g f )(x) = g( f (x)) =

аналогично

получаем

(g f )(x) = g( f (x)) = sin(3x2 −1)

( f g)(x) = f (g(x)) = 3sin2 x −1.

134

Возрастание и убывание функции. Функция y = f (x) называется

неубывающей (невозрастающей) на множестве X D( f ) , если для любых значений x1, x2 из этого множества X таких, что x1 < x2 , справедливо неравенство f (x1) ≤ f (x2 ) (соответственно f (x1) ≥ f (x2 )).

Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве

X D( f ) , если для любых значений x1, x2 X таких, что x1 < x2 , справедливо неравенство f (x1) < f (x2 ) (соответственно f (x1) > f (x2 ) ).

Возрастающиеиубывающиефункцииназываютсястрогомонотонными.

Обратная функция. Если для любых различных значений x1, x2 из области определения D( f ) функции f справедливо соотношение f (x1) ≠ f (x2 ) , то можно однозначно выразить x через y : x = g(y) . Последняя функция называется обратной по отношению к функции y = f (x) (иногда ее обозначают x = f −1(y)).

Для функции x = g(y) множество E( f ) является областью определения, а множество D( f ) – областью значений. Поскольку справедливы тождества g( f (x)) ≡ x и f (g(y)) ≡ y , функции y = f (x) и x = g(y) являются взаимно обратными. Обратную функцию x = g(y) обычно переписывают в стандартном виде y = g(x) , поменяв x и y местами, придавая тем самым x прежний смысл независимой переменной.

Если функция			f (x)	имеет обратную, то каждая горизонтальная прямая
пересекает ее график не более, чем в одной точке.
Пример 4.5. Найти функцию, обратную к данной
1) y =	3	;		2) y = x3 ;			3) y = x2 .
	x +5

Решение:			1) функция		y = f (x) =		3	убывает на	множестве
						x +5

D( f ) = (−∞;−3) (−3;+∞),				которое является областью ее определения, а
значит для любых x1 ≠ x2				имеем	f (x1) ≠ f (x2 ) . Отсюда следует, что на D( f )
функция имеет		обратную. Чтобы			найти эту		обратную функцию,		разрешим

135

уравнение y =	3		относительно	x :	x =	3	−5. Записывая полученную
	x +5
						y
формулу в традиционном виде (т.е.					меняя x и y местами), найдем
окончательно: y = 3		−5 – обратная функция к исходной. Область определения
	x

этой функции совпадает с областью значений исходной функции, т.е. с множеством (−∞;0) (0;+∞) ;

2) функция y = x3 возрастает на промежутке (−∞;+∞), а потому имеет обратную на этом промежутке. Рассуждая как в пункте 1), найдем обратную y = 3x , область определения которой есть множество (−∞;+∞), являющееся также и областью значений исходной функции;

3) для любого y				> 0 уравнение y			= x2 имеет два решения x	=		и
									y
			0			0	1		0
x2 = −		, т.е.	для указанных значений				x1 ≠ x2 имеем f (x1) = f (x2 )	(каждая
	y0
горизонтальная			прямая	y = y	0	пересекает график функции y = x2		в	двух
							0

точках). Значит, на интервале (−∞;+∞), являющемся естественной областью определения, данная функция обратной не имеет. Заметим, однако, что функция y = x2 имеет обратную на каждом из промежутков (−∞;0), (0;+∞), где указанная функция является монотонной.

Функция y = f (x) называется ограниченной на множестве X , если существует такое положительное число M , что для любого значения аргумента x X выполняется неравенство f (x) ≤ M .