- •1.1. Матрицы. Операции над матрицами
- •1.2. Определители и их свойства. Правило Крамера решения системы линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •1.5. Ранг матрицы. Теорема о совместности системы линейных уравнений
- •Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведение векторов
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Совместное исследование уравнений прямых
- •3.4.1. Эллипс
- •3.4.2. Гипербола
- •3.4.3. Парабола
- •3.5. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5.1. Плоскость в пространстве
- •3.5.2. Уравнения прямой в пространстве
- •3.5.3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве
- •3.6. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •Глава 4. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •6.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •6.2. Дифференцирование функций
- •6.3. Дифференциал функции
- •6.4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6.5. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •6.6. Основные свойства дифференцируемых функций
- •6.7. Исследование функций
- •6.8. Предельный анализ в экономике
- •Ответы
- •Литература
5.6. Односторонние пределы
Определение левого и правого пределов функции в точке. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой правой полуокрестности точки x0 , т.е. на некотором интервале (x0; x0 +δ) , где δ > 0.
Первое определение односторонних пределов функции (по Коши, или «на языке ε −δ ») выглядит так.
Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или
правосторонним пределом), если для любого сколь угодно малого
положительного числа ε |
найдется такое число δ > 0, что для всех x |
таких, |
||||
что 0 < x − x0 <δ , выполнено неравенство |
|
f (x) − A |
|
<ε . |
|
|
|
|
|
||||
Обозначается это так: |
lim f (x) = A или f (x0 + 0) = A. |
|
||||
|
x→x0 +0 |
|
||||
Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0 |
(или |
левосторонним пределом), если для любого сколь угодно малого
положительного числа ε |
найдется такое число δ > 0, что для всех x , таких, |
||||
что 0 < x0 − x <δ , выполнено неравенство |
|
f (x) − A |
|
<ε . |
|
|
|
||||
Обозначается это так: |
lim f (x) = A или f (x0 −0) = A . |
||||
|
x→x0 −0 |
Первое определение односторонних пределов функции равносильно второму определению (по Гейне, или «на языке последовательностей»):
Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или
правосторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn > x0 для любого n , соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к A.
Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0 (или левосторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn < x0 для любого n , соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к A.
Очевидно, что |
lim f (x) существует в том и только в том случае, когда |
|||
|
x→x0 |
|
|
|
существуют односторонние пределы |
lim f (x) , |
lim f (x) и при этом имеют |
||
|
|
x→x0 |
+0 |
x→x0 −0 |
место равенства lim |
f (x) = lim f (x) = |
lim f (x) . |
||
x→x0 |
x→x0 +0 |
x→x0 −0 |
|
173
Пример 5.16. Найти односторонние пределы функций:
|
|
|
|
2 |
при x ≤1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
f (x) = |
x |
|
|
при |
x →1; |
|
|
||||||||||
|
|
|
при x |
>1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) f (x) = |
|
x2 − 4x + 4 |
|
при x → 2; |
|
|
||||||||||||
|
|
x |
− 2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
f (x) = |
|
(x +3) |
1−cos2 x |
|
при x → 0 ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
f (x) = 5 + |
|
1 |
|
|
|
|
при x →1. |
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1+ 4 |
x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: 1) рассматриваемая функция |
||||||||||||||||||
определена на всей числовой оси. Пусть |
x ≤1. |
|||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
f (x) = x2 . |
|
|
|
|
Следовательно, |
|||||||||
f (1−0) |
= |
lim |
f (x) |
= lim |
x2 |
=1 |
|
– |
предел |
|||||||||
|
x→1−0 |
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
функции f (x) в точке x =1 слева. |
|
|
|
|||||||||||||||
Если |
же |
|
|
x >1, |
|
то |
|
f (x) = −x |
и |
|||||||||
f (1+ 0) |
= |
lim |
f (x) |
= lim (−x) = −1 – предел справа (рис5.1); |
||||||||||||||
|
x→1+0 |
|
|
|
|
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
2) данная функция определена на всем множестве действительных чисел, кроме точки x = 2. Преобразуем выражение для f (x) , заметив, что в числителе дроби находится полный квадрат:
f (x) = |
x2 |
− 4x + 4 |
= |
(x − 2)2 |
= x − 2 при x ≠ 2 . |
Следовательно, |
|||||||||||||||||
|
x − 2 |
x |
− 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (2 −0) = |
lim f (x) = |
lim (x − 2) = 0 , |
f (1+ 0) |
= lim (x − 2) = 0, т.е. |
|||||||||||||||||||
|
|
x→2−0 |
|
|
x→2−0 |
|
|
|
|
|
|
x→2+0 |
|||||||||||
односторонние пределы функции в исследуемой точке равны между собой; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(x +3) |
|
sin x |
|
|
. |
|||||||||
3) имеем f (x) = (x +3) |
|
1−cos2 x |
|
= (x +3) |
sin2 x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x при 0 < x < π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, что |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
получаем равенства |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
π |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
< x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−sin x при |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174
f (−0) = |
lim |
f (x) = |
lim −(x +3) sin x |
= −(0 +3) 1= −3 — пределслевавточкеноль; |
|
|
x→−0 |
|
x→−0 |
x |
|
f (+0) = lim |
f (x) = lim (x +3) sin x |
= (0 +3) 1 = 3 — пределсправавточкеноль; |
|||
|
x→+0 |
|
x→+0 |
x |
|
4)найдем левосторонний предел данной функции в точке x =1. Если x →1−0, т.е. x стремится к единице, оставаясь меньше единицы, то выражение x −1 стремится к нулю, оставаясь при этом меньше нуля, поэтому
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
дробь |
|
|
стремится к −∞, а значит, справедливы равенства lim 4 |
x−1 |
= 0 , |
||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|||||
|
f (1−0) = lim |
|
f (x) = lim 5 + |
|
|
|
|
1 |
|
|
= 5 + |
1 |
|
= 6. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 4x−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если же x →1+ 0, то дробь |
1 |
|
|
стремится к |
+∞, а значит, |
|
|||||||||||||||||||||||
x −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 4 |
x−1 |
= +∞, lim |
|
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→1−0 |
|
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1+ 4 |
x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (1+ 0) = lim f (x) = lim 5 + |
|
1 |
|
|
|
= 5 + 0 = 5. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→1+0 |
|
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1+ |
4x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Найти левый и правый пределы функции при x → x0 :
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
5.153. f (x) = e |
|
x−a |
, x |
|
= a . |
5.154. f (x) = |
|
|
, |
|
x |
= 3. |
||||||
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−3 |
|
|
|
|
|||
|
−2 |
при x ≤1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.155. f (x) = |
|
|
|
|
|
|
а) x0 =1, б) x0 =10. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
при x >1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.156. f (x) = |
, |
x =1. |
5.157. f (x) = |
1−cos x |
|
, |
x = 0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x −1 |
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.158. f (x) = |
4 +3 7 |
1−x |
|
, |
x =1. |
|
|
|
5.159. f (x) |
= |
5 |
|
|
|
|
|
, |
x |
= 2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(x − 2)2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ 71−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.160. f (x) = |
1 |
|
|
, x = 0 . |
|
|
|
5.161. f (x) = arctg 1 , x |
|
= 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.162. |
f (x) = tg x , x |
|
|
= π . |
|
|
|
5.163. f (x) = |
|
sin x |
|
|
, x |
|
= 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.164. |
f (x) =[x] – целая часть x , x0 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5.165. f (x) = |
1 |
, {x}= x −[x] – дробная часть x , x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
{x} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.166. f (x) = cos π , |
|
x |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
5.167. f (x) |
= 3tg 2x , x |
|
= π . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.168. f (x) = |
2 |
|
|
|
, |
|
|
|
x |
= π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1+ 2tg x |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin(x + 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5.169. lim |
|
|
1−cos2x |
|
|
|
. |
|
|
5.170. |
lim |
5.171. |
|
|
|
lim |
|
1+ cos2x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
x2 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
+0 |
|
|
π − 2x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1+ cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.172. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
5.172. |
lim |
|
tg2 α +secα |
− tgα |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→π+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α→2 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x) называется
непрерывной в точке x0 , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 ;
2) существует предел lim f (x) ;
x→x0
3) этот предел равен значению функции в точке x0 , т.е.
lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0
176
Последнее условие равносильно условию |
lim ∆y = 0 , где ∆x = x − x0 – |
||
|
|
∆x→0 |
|
приращение аргумента, |
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
– приращение |
функции, |
соответствующее приращению аргумента ∆x , т.е. |
функция f (x) непрерывна в |
||
точке x0 тогда и только |
тогда, когда в этой |
точке бесконечно |
малому |
приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Односторонняя |
непрерывность. |
Функция |
y = f (x) |
называется |
|||||
непрерывной |
слева в |
точке x0 , если |
она |
определена на |
некотором |
||||
полуинтервале (a; x0 ] и |
lim |
f (x) = f (x0 ). |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x→x0 −0 |
|
|
|
|
|
|
Функция y = f (x) |
называется непрерывной справа в точке x0 , |
если она |
|||||||
определена на некотором полуинтервале [x0;a) |
и lim |
f (x) = f (x0 ) . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x→x0 +0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Функция y = f (x) |
непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, |
когда она |
|||||||
непрерывна слева и справа в этой точке. При этом |
|
|
|
||||||
lim |
f (x) = |
lim f (x) = lim |
f (x) = f (x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
x→x0 +0 |
x→x0 −0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Непрерывность функции на множестве. |
Функция y = f (x) |
называется |
|||||||
непрерывной на множестве |
X , если она является непрерывной в каждой |
||||||||
точке |
x этого множества. |
При этом если функция |
определена |
в конце |
некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева.
В частности, функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке
[a;b], если она
1)непрерывна в каждой точке интервала (a;b);
2)непрерывна справа в точке a ;
3)непрерывна слева в точке b.
Точки разрыва функции. Точка x0 , принадлежащая области определения функции y = f (x), или являющаяся граничной точкой этой области, называется точкой разрыва данной функции, если f (x) не является непрерывной в этой точке.
177
Точки разрыва делятся на точки разрыва первого и второго рода:
|
1) |
|
если |
существуют |
конечные |
|
пределы |
lim f (x) = f (x0 −0) |
и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 −0 |
|
|
|
|
|
|
lim |
f |
(x) = f (x0 + 0) , |
причем не |
все |
три числа f (x0 −0) , |
f (x0 + 0) , |
f (x0 ) |
||||||||||||
x→x0 +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равны между собой, то x0 называется |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
точкой разрываI рода |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x0 |
равны |
|||||||||||||||||
между |
|
собой, |
но |
не |
равны |
|
значению |
функции |
в |
этой |
точке: |
||||||||
f (x0 −0) = f (x0 + 0) = A ≠ f (x0 ) , |
то |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
называется |
точкой |
устранимого |
|||||||||||||||
|
В этом случае, положив |
f (x0 ) = A, можно видоизменить функцию в |
|||||||||||||||||
разрыва. |
|||||||||||||||||||
точке x0 так, чтобы |
она стала |
непрерывной |
(доопределить |
функцию |
по |
||||||||||||||
непрерывности). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Разность |
f (x0 + 0) − f (x0 −0) |
называется скачком функции в точке |
x0 . |
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю;
2) точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов f (x0 −0) и
f (x0 + 0) .
Свойства функций,непрерывных в точке.
1. Если функции |
f (x) |
и g(x) непрерывны в |
точке x0 , |
то функции |
|
f (x) ± g(x), f (x)g(x) и |
f (x) |
(где g(x) ≠ 0 ) также непрерывны в точке x . |
|||
|
|
||||
|
g(x) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
2. Если функция u(x) непрерывна в точке x0 , а функция f (u) |
непрерывна |
||||
в точке u0 = u(x0 ) , то сложная функция f (u(x)) непрерывна в точке x0 . |
|||||
3. Все основные элементарные функции (c , xa , |
ax , loga x , |
sin x , cos x , |
|||
tg x , ctg x, sec x , cosec x , arcsin x , arccos x , arctg x , |
arcctg x ) непрерывны в |
каждой точке своих областей определения.
Из свойств 1–3 следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
178
Свойства функций,непрерывных на отрезке. |
|
|
|
1. Пусть функция |
f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда |
||
для любого числа |
C , заключенного между числами f (a) |
и |
f (b) , |
( f (a) < C < f (b) ) найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что |
f (x0 ) = C |
||
(теорема о промежуточных значениях). |
|
|
|
2. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке |
[a;b] и |
принимает на его концах значения различных знаков. Тогда найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) = 0 (теорема Больцано – Коши).
3.Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке(1-я теорема Вейерштрасса).
4.Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция достигает на отрезке [a;b] своего наибольшего и наименьшего
значений,т.е.существуюттакиеточки x1, x2 [a;b],чтодлялюбойточки x [a;b] справедливынеравенства f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) (2-ятеоремаВейерштрасса).
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функция y = 3x2 + 2x −5 непрерывна в произвольной точке x0 числовой оси.
Решение. I способ. Пусть x0 – |
произвольная точка числовой оси. |
||||||
Вычислим сначала предел функции f (x) |
при x → x0 , применяя теоремы о |
||||||
пределе суммы и произведения функций: |
|
|
|
|
|
||
lim f (x) = lim (3x2 + 2x −5) = 3( lim x)2 + 2 lim x −5 = 3x |
2 |
+ 2x −5. |
|||||
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
Затем вычисляем значение функции в точке x : |
f (x ) = 3x |
2 |
+ 2x −5 . |
||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Сравнивая |
полученные |
результаты, видим, |
что |
lim |
f (x) = f (x0 ) . |
||
|
|
|
|
x→x0 |
Согласно определению это и означает непрерывность рассматриваемой
функции в точке x0 . |
|
|
|
|
|
I I способ. |
Пусть ∆x – приращение аргумента в точке x0 . Найдем |
||||
соответствующее приращение функции: |
|
|
|
||
∆y = f (x + ∆x) − f (x ) = 3(x + ∆x)2 |
+ 2(x + ∆x) −5 −(3x 2 |
+ 2x −5)= |
|||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
= 6x ∆x + (∆x)2 + 2∆x = (6x + 2)∆x + (∆x)2 . |
|
|
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
179
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю:
lim ∆y = lim (6x |
+ 2)∆x |
+ (∆x)2 = (6x |
+ 2) lim ∆x + ( lim ∆x)2 = 0 . |
|||
∆x→0 |
∆x→0 |
0 |
|
0 |
∆x→0 |
∆x→0 |
|
|
|
||||
Таким |
образом, |
lim ∆y = 0 , что |
и означает по определению |
|||
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
непрерывность функции для любого x0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
|
|
|
|
2 |
при |
x < 3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4x +3 |
|
|
|
||||||
1) |
f (x) = |
1− x |
|
; |
2) |
f (x) = |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5x при x ≥ 3 |
|
x +1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
f (x) = |
|
5 |
|
|
; |
|
|
4) |
f (x) = arctg |
1 |
|
|
. |
||
x4 (x − 2) |
|
|
(x −5) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение: |
1) |
областью |
определения данной |
функции является вся |
числовая ось (−∞;+∞). На интервалах (−∞;3), (3;+∞) функция непрерывна.
Разрыв возможен лишь в точке x = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:?
f (3 −0) = lim (1− x2 ) =1 |
−9 =8 ; |
f (3 + 0) = |
lim |
5x =15. |
|
|
x→3−0 |
|
x→3+0 |
|
|
||
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, |
поэтому x = 3 – точка |
|||||
разрыва I рода |
функции |
f (x) . Скачок |
функции |
в |
точке |
разрыва |
f (3 + 0) − f (3 −0) =15 −8 = 7 . |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
f (3) = 5 3 =15 = f (3 + 0) , |
поэтому в точке x = 3 |
функция |
f(x) непрерывна справа;
2)функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = −1, в которой она не определена. Преобразуем выражение для f (x) , разложив числитель дроби
намножители: f (x) = |
x2 |
+ 4x +3 |
= |
(x +1)(x +3) |
= x +3 при x ≠ −1. |
|
|
x +1 |
x +1 |
||||
|
|
|
|
|
||
Найдем односторонние пределы функции в точке x = −1: |
||||||
lim |
f (x) = lim |
f (x) = lim (x +3) = 2. |
|
|||
x→−1−0 |
x→−1+0 |
x→−1 |
|
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = −1 – точка
180
устранимого |
разрыва |
функции |
f (x) = |
x2 |
+ 4x +3 |
. График |
функции |
|
|
x +1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представляет собой прямую y = x +3 |
с «выколотой» точкой M (−1;2) . Чтобы |
|||||||
функция |
стала |
непрерывной, |
|
|
следует |
положить |
f (−1) = f (−1−0) = f (−1+ 0) = 2 .
Таким образом, доопределив f (x) по непрерывности в точке x = −1, мы получили функцию f *(x) = x +3 с областью определения (−∞;+∞);
3)данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек x = 0, x = 2, в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0.
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает
только отрицательные значения, то f (−0) = lim |
|
5 |
= −∞ = f (+0) , т.е. |
|
(x − 2) |
||
x→−0 x4 |
|
точка x = 0 является точкой разрыва II рода функции f (x) .
Рассмотрим теперь точку x = 2.
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от
рассматриваемой |
|
точки |
|
и |
положительные – |
справа, |
поэтому |
|||||||||||||||||
f (2 −0) = lim |
|
5 |
|
= −∞, |
|
|
f (2 + 0) = lim |
|
5 |
= +∞. Как и в |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→2−0 x4 (x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2+0 x4 (x − 2) |
|
|
|||||||||
предыдущем случае, в точке |
|
x = 2 функция не имеет ни левого, |
ни правого |
|||||||||||||||||||||
конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода; |
|
|||||||||||||||||||||||
4) данная |
функция |
|
терпит |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
разрыв в точке |
x = 5 . При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f (5 −0) = |
lim arctg |
|
1 |
|
|
= − |
π |
|
, |
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(x −5) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→5−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (5 + 0) = |
lim arctg |
|
1 |
|
|
= |
π |
, |
|
|
|
0 |
|
• |
1 |
• |
х |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||
(x −5) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→5+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
т.е x = 5 – точка разрыва I рода. |
− |
|
• |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Скачок функции в данной точке |
2 |
|
|
|
|
|
Рис.5.2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (5 + 0) − f (5 −0) = |
π |
−(− |
|
π ) =π (рис. 5.2). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
181
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке x0 R :
а) |
f (x) = c = const ; |
б) |
f (x) = x ; |
в) f (x) = x3 ; |
|||
г) |
f (x) = 5x2 − 4x +1; |
д) |
f (x) = sin x . |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
+1 при x |
≥ 0, |
|
|
|
x |
|
является непрерывной на |
|||
5.175. Доказать, что функция f (x) = |
|
|
1 при x < 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
всей числовой оси. Построить график этой функции.
|
|
|
2 |
+1 при |
x ≥ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.176. Доказать, что функция f |
x |
|
не является непрерывной |
||||||||||||||||||
(x) = |
|
0 при x |
< 0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке x = 0, но непрерывна справа в этой точке. Построить график |
|||||||||||||||||||||
функции f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x |
2 |
+ x +1 при x |
≤ |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.177. Доказать, что функция f |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не является |
|||||||||
(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
2x + 2 при x > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывной в точке x = |
1 , но непрерывна слева в этой точке. Построить |
||||||||||||||||||||
график функции f (x) . |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.178. Построить графики функций: |
|
|
|
а) |
y = |
|
|
x +1 |
; |
|
|
б) y = x + |
|
|
x +1 |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций |
|||||||||||||||||||||
выполнены и какие не выполнены? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
sin x |
, при x ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.179. Указать точку разрыва функции y |
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2, |
при x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены и какие не выполнены?
1
5.180. Указать точку разрыва функции y = 2x и определить ее род. Найти
lim y и построить эскиз графика функции. Какие условия
x→±∞
непрерывности в точке разрыва не выполнены?
182
Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. Построить график данной функции:
5.181. f (x) = − 6x . 5.183. f (x) = 4 −4x2 .
5.185. f (x) = arctg x −a a , a > 0.
5.182.
5.184.
5.186.
f(x)
f(x)
f(x)
=tg x .
=1 1 .
1+ 2x
=x3 − x2 .
2 x −1
Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В случае разрыва первого рода найти скачок функции в точках разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию « по непрерывности»:
5.187. f (x) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x3 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.189. f (x) = |
3 |
x−2 |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
x−2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2x +5 при x < −1, |
|
|
|||||||||||||||
5.191. f (x) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
при |
x > −1. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
≤ x ≤ |
π |
, |
|||
|
cos x при − |
2 |
4 |
|||||||||||||||
5.193. f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
π2 |
|
π |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
− |
при |
< x ≤π. |
|||||||||||||
|
x |
|
16 |
|
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.195. f (x) = |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1−e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.197. f (x) = x3 xx2+1 x .
+ 6 +11 + 6
5.188. f (x) = |
1 |
. |
|
||||||
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
1−x |
+1 |
|
|
|
|||
5.190. f (x) = |
|
|
x + 2 |
|
|
. |
|||
|
|
|
|||||||
arctg(x + 2) |
|||||||||
|
|
5.192. f (x) =1− xsin 1x .
5.194. f (x) = |
(1+ x)n −1 |
, n N . |
||||
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg xarctg |
|
|
1 |
|
|
5.196. f (x) = |
|
x −3 |
. |
|||
|
|
|||||
x(x − |
|
|
||||
|
5) |
|
|
|
5.198. f (x) = x4 − 261x2 + 25 .
183