5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей

проколотой ε -окрестности точки x0 ).

Первое определение предела функции (по Коши, или «на языке ε −δ ») выглядит так.

Обозначается это так: lim f (x) = A или f (x) → A при x → x0 .

x→x0

Первое определение предела функции равносильно второму определению (по Гейне, или «на языке последовательностей»), которое выглядит так.

последовательность значений функции {f (xn )} сходится к A.

Пример 5.8. 1. Доказать, пользуясь определением по Коши, что число A = 7 является пределом функции y = 2x +1 при x →3.

2. Доказать, пользуясь определением по Гейне, что число A = 3 является

выполнено неравенство f (x) −7 = 2x +1−7 <ε .

156

Таким образом, если принять δ = ε2 , то выполнены все условия определения

предела по Коши. Это и значит, что lim(2x +1) = 7;

x→3

вступает в противоречие со вторым определением предела функции,

следовательно, функция f (x) = sin 1x не имеет предела в точке x0 = 0 .

157

любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое число

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция y = f (x)

называетсябесконечнобольшойпри x → x0 (вточке x0 ),еслидлявсякогочисла M > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех x таких, что x − x0 <δ , x ≠ x0 выполненонеравенство f (x) > M (илиеслидлявсякойпоследовательности xn

158

Свойства бесконечно малых функций.

1.Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых при x → x0 функций есть бесконечно малая при x → x0 функция;

2.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция;

3.Функция y = f (x) является бесконечно малой при x → x0 тогда и

а) lim f (x) ± g(x) = A ± B ;

x→x0

б) lim cf (x) = cAдля любого c R ;

x→x0

в) lim f (x)g(x) = AB ;

x→x0

3. Для всех основных элементарных функций в любой точке x0 их области определения имеет место равенство

159

Пример 5.11. Найти следующие пределы:

Здесь мы воспользовались теоремами об арифметических действиях над пределами и теоремой о пределе элементарной функции:

2) поскольку пределы числителя и знаменателя равны нулю, мы имеем дело с неопределенностью вида 00 . «Раскроем» эту неопределенность, т.е.

избавимся от нее, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив дробь на x −3:

3) опять имеем неопределенность вида 00 . Для ее раскрытия умножим

числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю и воспользуемся формулой разности квадратов:

4) числитель и знаменатель дроби представляют собой бесконечно большие при x → +∞ функции, поэтому здесь имеет место неопределенность

вида ∞∞ . Поступая как при вычислении предела последовательности, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x :

160

5) справедливо неравенство −3 <1− 4cos x < 5 , т.е. функция y =1− 4cos x является ограниченной на всей числовой оси, а потому при ее умножении на

проколотой ε -окрестности точки x0 , то A ≤ B .

2. Если предел функции в данной точке положителен (отрицателен), то и все значения указанной функции положительны (отрицательны) в некоторой проколотой окрестности этой точки (обратное, вообще говоря, неверно:

например, пределом последовательности с положительными членами xn = 1n

является число ноль).

A(теорема о промежуточной переменной).

4.Если функция имеет предел в данной точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Задачи для самостоятельного решения

5.37. Пользуясь первым определением предела (по Коши), доказать, что:

5.38. Пользуясь вторым определением предела (по Гейне), доказать, что:

161

5.40. Доказать, что функция y = f (x) является бесконечно малой при x → +∞:

162