- •1.1. Матрицы. Операции над матрицами
- •1.2. Определители и их свойства. Правило Крамера решения системы линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •1.5. Ранг матрицы. Теорема о совместности системы линейных уравнений
- •Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведение векторов
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Совместное исследование уравнений прямых
- •3.4.1. Эллипс
- •3.4.2. Гипербола
- •3.4.3. Парабола
- •3.5. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5.1. Плоскость в пространстве
- •3.5.2. Уравнения прямой в пространстве
- •3.5.3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве
- •3.6. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •Глава 4. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •6.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •6.2. Дифференцирование функций
- •6.3. Дифференциал функции
- •6.4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6.5. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •6.6. Основные свойства дифференцируемых функций
- •6.7. Исследование функций
- •6.8. Предельный анализ в экономике
- •Ответы
- •Литература
1.2. Определители и их свойства. Правило Крамера решения системы линейных уравнений
|
Определителем |
второго |
|
порядка, |
или |
определителем |
|
матрицы |
|||||||||||
A2 |
a11 |
a12 |
|
|
|
|
обозначаемое |
|
det A2 или |
|
a11 |
a12 |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= a |
a |
, называется число, |
|
|
a |
a |
|
||||||||||||
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
вычисляемое по правилу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
det A = |
|
a11 |
a12 |
|
= a a |
22 |
− a |
a . |
|
|
(1.1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
a21 |
a22 |
|
|
11 |
|
21 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Определителем |
третьего |
|
порядка, |
или |
определителем |
|
матрицы |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
3 |
= a |
a |
|
a |
|
, |
называется |
число, |
обозначаемое |
||||||||
|
|
|
|
21 |
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a32 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a11 |
|
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a21 |
|
a22 |
a23 |
|
, вычисляемое по правилу |
|
|
|
|
|
||||||||
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
a13 |
|
a22 |
a23 |
|
a21 |
a23 |
|
a21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
det A = |
a |
a |
a |
= a |
− a |
+ a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
21 |
|
22 |
23 |
11 |
a |
a |
12 |
a |
a |
13 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
32 |
33 |
|
31 |
33 |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A3 или
a22 . (1.2)
a32
Для обозначения определителей часто используют греческую букву ∆ . Элементы a11, a22 и a11, a22, a33 определителей det A2 и det A3
соответственно образуют главную диагональ определителя, а элементы a21, a12
иa31, a22, a13 – побочную диагональ. Таким образом, определитель второго
порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей. Например,
|
2 |
4 |
|
= 2 5 −3 4 =10 −12 = −2. |
|
|
|
|
|||
|
3 |
5 |
|
|
|
Правило (1.2) можно записать следующим образом: |
|
||||
det A3 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − |
|
||||
|
−(a13a22a31 + a12a21a33 + a23a32a11). |
(1.3) |
10
Для запоминания формулы (1.3) удобно использовать правило треугольников, схема которого приведена на рис.1.1: первые три слагаемых представляют собой произведения элементов главной диагонали определителя, а также элементов, находящихся в вершинах треугольников, симметричных относительно побочной диагонали; остальные три слагаемых – взятые с противоположными знаками произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, находящихся в вершинах треугольников, симметричных относительно главной диагонали.
+ |
– |
Рис.1.1
Пример 1.5. Вычислить определитель
12 −3
∆ = 4 |
6 |
5 . |
2 |
−1 |
1 |
Ре ш е н и е.По правилу треугольников имеем
∆=1 6 1+ 2 5 2 + 4 (−1) (−3) −((−3) 6 2 + 2 4 1+5 (−1) 1)= 71.
Основные свойства определителей.
1. Определитель матрицы не изменяется при транспонировании, т.е. det A = det AT .
2.Если поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак.
3.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то значение определителя умножится на это же число. Как следствие, общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
4.Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.
5.Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
6.Если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.
7.Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
11
|
|
2 |
3 |
7 |
|
|
|
||||
Например, |
|
0 |
−4 |
5 |
= 2 (−4) 11 = −88. |
|
|
0 |
0 |
11 |
|
Определитель второго порядка, который получается из определителя det A3 вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, называется минором элемента
aij определителя det A3 и обозначается Mij .
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя det A3
называется минор Mij , взятый со знаком (−1)i+ j . Таким образом,
Aij = (−1)i+ j Mij .
Учитывая эти определения, равенство (1.2) запишем в виде
det A3 = a11A11 + a12 A12 + a13 A13 .
Важноезначениедлявычисленияопределителейимеетследующаятеорема.
Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
det A3 = ai1Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 , |
i =1,2,3; |
(1.4) |
det A3 = a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j , |
j =1,2,3. |
(1.5) |
Равенство (1.4) называется разложением определителя по элементам i-й строки,аравенство(1.5)– разложениемопределителяпоэлементамj-гостолбца.
Пример 1.6. Вычислить определитель
|
|
2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
∆ = |
|
4 |
3 |
5 |
|
. |
|
|
5 |
−2 |
4 |
|
|
Ре ш е н и е. Прибавим к третьему столбцу определителя второй столбец,
ак первому – второй столбец, умноженный на 2. Получим
|
|
0 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|||||
∆ = |
|
10 |
3 |
8 |
|
. |
|
|
1 |
−2 |
2 |
|
|
Разложим полученный определитель по элементам первой строки:
12
|
1+1 |
|
3 8 |
|
1+2 |
|
10 8 |
|
1+3 |
|
10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∆ = 0 |
(−1) |
|
−2 2 |
+ (−1) |
(−1) |
|
1 2 |
+ 0 |
(−1) |
|
1 −2 |
= |
= 101 82 = (16 −8) =8 .
Определителем n-го порядка называется число
|
a11 |
a12 |
|
a1n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
a21 |
a22 |
|
a2n |
= a A + a A |
+ + a A |
, |
||
|
|
|
|
|
|
11 11 12 12 |
1n 1n |
|
|
|
an1 |
an2 |
|
ann |
|
|
|
||
где A = (−1)i+ j M |
ij |
, а M |
ij |
– определитель (n −1) -го порядка, полученный из |
|||||
ij |
|
|
|
|
|
|
|
исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (по аналогии с определителями третьего порядка, Mij и Aij называются соответственно
минором и алгебраическим дополнением элемента aij ).
Все свойства определителей 3-го порядка справедливы также для определителей любого порядка n .
Пример 1.7. Вычислить определитель
|
3 |
4 |
0 |
−5 |
|
|
|
|
|||||
∆ = |
1 |
−3 |
2 |
1 |
|
. |
|
−2 |
5 |
−4 |
3 |
|
|
|
7 |
−6 |
6 |
2 |
|
|
Р е ш е н и е. Прибавим к третьей строке определителя вторую, умноженную на 2, а к четвертой – вторую строку, умноженную на (–3). Получим
|
3 |
4 |
0 |
−5 |
|
3 |
4 |
−5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
1 |
−3 |
2 |
1 |
|
|
|||
∆ = |
= 2 (−1)2+3 |
0 −1 5 |
. |
||||||
|
0 |
−1 |
0 |
5 |
|
4 |
3 |
−1 |
|
|
4 |
3 |
0 |
−1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Далее к третьему столбцу полученного определителя прибавим второй, умноженный на 5:
|
|
3 |
4 |
15 |
|
= −2 (−1) (−1)2+2 |
|
3 |
15 |
|
= 2 (42 −60)= −36. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
∆ = −2 |
|
0 |
−1 0 |
|
|
|
|||||
|
|
4 |
3 |
14 |
|
|
|
4 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
|
a x + a y + a z = b , |
|
|||||
|
11 |
12 |
12 |
1 |
|
||
|
a21x + a22 y + a23z = b2 , |
(1.6) |
|||||
|
a x + a y + a z = b . |
|
|||||
|
31 |
32 |
33 |
3 |
|
||
|
a11 a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
Определитель ∆ = |
a21 a22 |
a23 |
называетсяопределителемсистемы(1.6). |
||||
|
a31 a32 a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ∆ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое может быть |
|||||||
найдено по формулам Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = ∆x , y = |
∆y |
, z = |
∆z , |
(1.7) |
||
|
|
||||||
|
∆ |
|
|
∆ |
∆ |
|
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|||||||||
где ∆x = |
b2 |
a22 |
a23 |
|
, ∆y = |
|
a21 |
b2 |
a23 |
|
, ∆z = |
|
a21 |
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
|
a31 |
2x − y −3z = 4,
Пример 1.8. Решить систему x + 2y + 4z = 4,
3x − y + 2z =1. 2
Р е ш е н и е. Определитель системы ∆ = 1 3
a12 b1 a22 b2 .
a32 b3
−1 |
−3 |
|
|
||
2 |
4 |
= 27. Так как ∆ ≠ 0, |
−1 |
2 |
|
то система имеет единственное решение, которое мы найдем по формулам (1.7). Вычислим остальные три определителя:
|
4 |
−1 |
−3 |
|
|
|
2 |
4 |
−3 |
|
|
|
2 |
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∆x = |
4 |
2 |
4 |
= 54, ∆y = |
1 |
4 |
4 |
=81, ∆z = |
|
1 |
2 |
4 |
|
= −27 . |
|||
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
3 |
−1 |
1 |
|
|
Следовательно, x = |
54 |
= 2, |
y = |
81 |
= 3, z = |
−27 = −1. |
Решение системы |
||||||||||
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
27 |
|
27 |
|
|
|
|
|
можно также записать в виде упорядоченной тройки чисел (2;3;−1) . Правильность решения проверяется подстановкой найденных значений x, y и z в уравнения системы.
Формулы (1.7) можно также обобщить для системы n линейных уравнений с n неизвестными.
14
Задачи для самостоятельного решения
1.9. Вычислить определители второго порядка:
а) |
|
5 |
2 |
|
; |
б) |
|
3 |
7 |
|
; |
в) |
|
3 |
−3 |
|
; |
г) |
|
cosα |
−sinα |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
3 |
|
|
−2 |
6 |
|
|
−9 |
9 |
|
|
sinα |
cosα |
|
1.10. Вычислить определители с помощью правила треугольников:
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
−4 |
5 |
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
sinα |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) |
|
2 |
8 |
1 |
|
; б) |
|
1 |
−2 |
6 |
|
; |
в) |
|
5 |
3 |
−1 |
|
; |
г) |
|
sin β |
1 |
cos β |
|
. |
|
|
−1 |
3 |
2 |
|
|
|
−1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
6 |
−4 |
−5 |
|
|
|
|
1 |
cosα |
1 |
|
|
1.11. Вычислить определители приведением к треугольному виду:
|
|
0 |
3 |
−2 |
|
|
|
|
1 |
3 |
−2 |
|
|
|
|
1 |
3 |
−1 |
|
|
|
|
1 |
−2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
а) |
|
5 |
2 |
4 |
|
; |
б) |
|
0 |
2 |
4 |
|
; |
в) |
|
4 |
2 |
2 |
|
; |
г) |
|
1 |
−1 7 |
|
. |
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
2 |
6 |
5 |
|
|
|
|
−6 0 |
−3 |
|
|
|
|
2 |
−7 |
1 |
|
|
1.12. Вычислить определители с помощью теоремы Лапласа:
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
3 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
3 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
5 1 8 |
; |
|
б) |
2 −1 4 |
|
; |
в) |
|
2 1 5 |
|
; |
|
г) |
|
30 8 5 |
. |
||||||||||||||
|
−1 3 2 |
|
|
|
|
1 2 −8 |
|
|
|
|
|
−1 −2 3 |
|
|
|
|
|
|
−15 4 2 |
|
|||||||||||
1.13. Вычислить определители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−1 −2 3 4 |
|
|
|
|
|
−4 1 2 0 |
|
|
|
|
|
6 |
0 −1 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) |
2 0 1 −1 |
; |
|
б) |
2 −1 2 3 |
; |
в) |
2 |
−2 0 1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
3 −3 1 0 |
|
|
−3 0 1 1 |
1 |
1 −3 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 2 1 −2 |
|
|
|
|
2 1 −2 3 |
|
|
|
|
|
4 |
1 −1 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
1.14. Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x − 2 −x |
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
−3 |
4 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 3 −7 |
−1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) |
= 0 ; |
|
б) |
3 5 |
3 |
= 0 ; |
в) |
|
= 20. |
||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
3 |
−1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−1 |
1 |
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.15. Решить системы уравнений по формулам Крамера:
x − 2y + z = 9, а) 2x +3y − 2z = −5,3x − y − z = 4;
2x + y +3z = −9, б) 8x +3y +5z = −13,
2x +5y − z = −5;
3x + 4y + 7z =−1, в) −2x +5y −3z =1,5x −6y +11z =−3.
15