2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов

Проекцией вектора a на ось Ox называется число, обозначаемое ПрOx a и определяемое формулой

ПрOx a =| a | cosϕ ,

где ϕ – угол между вектором a и осью Ox .

Координаты вектора a в ортонормированном базисе равны проекциям вектора a на соответствующие координатные оси:

направляющими косинусами вектора a . Формулы (2.5) можно переписать в виде

37

Основные свойства скалярногопроизведения векторов:

1)(a ,b) = (b ,a) ;

2)(λa ,b) = (a ,λb) = λ(a ,b) ;

3)(a +b ,c) = (a ,c) +(b ,c) ;

4)a 2= (a ,a) =| a |2 ;

5)(a ,b) = 0 a и b ортогональны (при условии | a | ≠ 0 ≠| b | ).

Из определения скалярного произведения следует, что

(p,q) = π3 .

Ре ш е н и е. Используя свойство 4) скалярного произведения, имеем

| a | = a 2 = (2 p −3q )2 .

38

Применяя далее свойства 1) – 3), находим

(2 p −3q )2 = 4 p 2−12( p,q) +9q 2 = 4 | p |2−12 | p || q | cos( p,q) +9 | q |2 = = 4 9 −12 3 2 12 +9 4 = 36 .

Следовательно, | a | = 6 .

Пример 2.7. Найти вектор единичной длины, ортогональный векторам m (2;−1;−2) и n (1;1;− 4) .

скалярные произведения векторов через их координаты, получим систему уравнений

2x − y −2z = 0,x + y −4z = 0,x2 + y2 + z2 =1,

Задачи для самостоятельного решения

2.21.Построить радиус-вектор точки M (4;−3;5) и определить его длину и направление.

2.22.Даны точки A(1;2;3) и B(3;−4;6) . Построить вектор AB , найти его проекции на оси координат и определить его направление.

2.23.Разложить вектор a по базису i , j, k , если он образует с осями

|a |= 42 .

2.24.Вектор a образует углы α = 60 и γ = 45 с осями Ox и Oz соответственно. Найти: а) угол β , который образует вектор a с осью Oy , если известно, что он тупой; б) координаты вектора a , если | a | = 2 .

39

2.25.Найти координаты вектора a , образующего равные острые углы с осями координат, если a 2 =12 .

2.26.Найти скалярное произведение векторов a = 6i +3 j −4k и b = 4i −2 j + 2k .

2.27.Известно, что | a |=1, | b | = 2 , (a ,b) = π3 . Найти:

|p |= 2 , | q |= 3, и ( p,q) = π3 .

2.30.Найти длину вектора a = 4 p −q , если | p |=1, | q |= 3 и ( p,q) = π6 .

2.31.Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = 2 p + q и b = p −2q , где | p |=| q |=1, и ( p,q) = π3 .

2.32.Найти угол между векторами a (−1;4;1) и b(1;2;2) .

2.33.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a(6;−1;1) и b(2;3;1) .

2.36.Найти угол между биссектрисами углов xOy и xOz .

2.37.Из вершины квадрата проведены две прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.

2.38.Найти угол между биссектрисами двух плоских углов треугольной пирамиды, имеющих общую вершину, если все ребра пирамиды равны.

2.39.Даны точки A(2;−3;4), B(5;−5;−2), C(1;2;3), D(7;4;6) . Найти Пр CD AB .

40