- •1.1. Матрицы. Операции над матрицами
- •1.2. Определители и их свойства. Правило Крамера решения системы линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •1.5. Ранг матрицы. Теорема о совместности системы линейных уравнений
- •Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведение векторов
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Совместное исследование уравнений прямых
- •3.4.1. Эллипс
- •3.4.2. Гипербола
- •3.4.3. Парабола
- •3.5. Прямая и плоскость в пространстве
- •3.5.1. Плоскость в пространстве
- •3.5.2. Уравнения прямой в пространстве
- •3.5.3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве
- •3.6. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •Глава 4. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •6.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •6.2. Дифференцирование функций
- •6.3. Дифференциал функции
- •6.4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6.5. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •6.6. Основные свойства дифференцируемых функций
- •6.7. Исследование функций
- •6.8. Предельный анализ в экономике
- •Ответы
- •Литература
1.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
a11x1 + a12x2 + + a1n xn = b1 , |
|
|||
a x + a x + + a x = b , |
|
|||
|
21 1 22 2 |
2n n |
2 |
(1.12) |
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
am1x1 + am2x2 + + amn xn = bm . |
|
Система (1.12) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Суть метода Гаусса состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований привести систему (1.12) к равносильной ей системе
треугольного
|
a11x1 + a12x2 + + a1n xn = b1 , |
|
|
|
|||
|
|
′ |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
a22x2 |
+ + a2n xn |
= b2 , |
|
|
(1.13) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
ann xn = bn , |
|
|
|
|
или ступенчатого |
|
|
|
|
|
|
|
a11x1 + a12x2 + + a1k xk + a1k+1xk+1 + + a1n xn = b1 , |
|
|
|||||
|
′ |
′ |
′ |
′ |
′ |
, |
|
|
a22x2 |
+ + a2k xk |
+ a2k+1xk+1 + + a2n xn |
= b2 |
(1.14) |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
′ |
′ |
′ |
′ |
|
|
|
|
ak k xk + ak k+1xk+1 |
+ ak n xn = bk |
|
|
вида (при этом предполагается, что a11 ≠ 0 и aii′ ≠ 0, i = 2, ,n ).
Кэлементарным преобразованиям системы (1.12) относятся:
1)перестановка местами любых двух уравнений;
2)умножение обеих частей уравнения на ненулевое число;
3)прибавление к уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число;
4)отбрасывание уравнения, все коэффициенты и свободный член которого равны 0.
Замечание. Вообще говоря, для приведения системы (1.12) к виду (1.13) или (1.14) может понадобиться изменение нумерации переменных.
20
Переход от системы (1.12) к системе (1.13) или (1.14) называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса заключается в нахождении неизвестных x1 , , xn из полученной системы.
В случае приведения к треугольному виду (1.13) из последнего уравнения находится неизвестная xn , значение которой подставляется в предпоследнее уравнение, и так последовательно находятся остальные неизвестные. Система при этом имеет единственное решение.
В случае приведения к ступенчатому виду неизвестные x1 , , xk , называемые базисными, будут выражаться через свободные неизвестные xk+1 , , xn ; система при этом имеет бесконечно много решений.
Если в результате прямого хода метода Гаусса будет получено уравнение 0 x1 + 0 x2 + + 0 xn = b′l , b′l ≠ 0 , то система несовместна.
На практике прямой ход метода Гаусса удобнее выполнять, преобразуя не саму систему, а ее расширенную матрицу
|
|
a12 |
|
a1n |
a11 |
||||
a |
a |
a2n |
||
[A | B]= |
21 |
22 |
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
a |
|
a |
|
|||
|
m1 |
m2 |
mn |
b1 b2 .
bm
Пример 1.13. Решить систему уравнений
x1 − x2 + x3 = 3,2x1 + x2 + x3 =11,x1 + x2 + 2x3 =8.
Р е ш е н и е. Составим расширенную матрицу системы
1 |
−1 |
1 |
|
3 |
|
|
|||||
[A | B]= 2 |
1 |
1 |
|
11 . |
|
|
1 |
2 |
|
8 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
Прибавим ко второй строке матрицы первую, умноженную на (−2) , а к третьей – первую, умноженную на (−1) :
1 |
−1 |
1 |
|
3 |
|
|
|||||
|
3 |
−1 |
|
5 |
|
0 |
|
. |
|||
|
2 |
1 |
|
5 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
21
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
: |
Далее прибавим к третьей строке вторую, умноженную на |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
−1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
0 |
5 3 |
|
5 3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Полученной матрице соответствует система уравнений
x |
− x |
+ x |
= 3, |
|||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3x2 − x3 = 5, |
||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
x3 |
= |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Из |
последнего |
уравнения |
находим |
x3 =1, |
подставив |
во |
второе |
|||
уравнение, получим |
3x2 = 5 +1 = 6 , |
отсюда |
x2 = 2 и |
из |
первого |
уравнения |
||||
x1 = 3 + 2 −1 = 4, т.е. решением системы является тройка чисел(4;2;1) . |
|
|||||||||
Пример 1.14. Решить систему уравнений |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2x − x + x − x = 5, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
x1 + 2x2 − 2x3 +3x4 = −6, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
3x + x − x + 2x = −1. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
Р е |
ш е н |
и е. Преобразуем |
расширенную |
матрицу |
системы, |
предварительно для удобства вычислений поменяв местами первое и второе уравнения:
1 2 |
−2 3 |
|
−6 |
1 2 −2 3 |
|
−6 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
−1 1 −1 |
|
5 |
|
|
−5 |
5 |
−7 |
|
17 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
||||||||
3 |
1 |
−1 2 |
|
−1 |
0 |
−5 |
5 |
−7 |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
−2 |
3 |
|
−6 |
1 |
2 −2 3 |
|
−6 |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
−5 |
5 |
−7 |
|
17 |
|
|
||||
|
|
|
|
−5 5 −7 |
|
17 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Врезультате получим систему
x1 + 2x2 − 2x3 +3x4 = −6,− 7x45x2 +5x3 − =17,
откуда выражаем базисные неизвестные x1 , x2 |
через свободные x3 , x4 : |
|||||||||||||||||
x = −17 |
+ x − |
7 x |
и x = −6 + 2x −3x − 2 |
|
−17 |
+ x − |
7 x |
|
= |
4 − |
1 x . |
|||||||
2 |
5 |
3 |
5 |
4 |
1 |
3 |
4 |
|
|
5 |
3 |
5 |
4 |
|
|
5 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Система имеет бесконечное |
множество решений, которые можно |
|||||
записать в виде |
|
|
|
|
|
|
x |
= 4 |
− |
1 x , |
|
|
|
1 |
5 |
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
17 + x − |
7 x , |
||||
x = − |
||||||
2 |
|
5 |
|
3 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
||
x3 |
, |
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Пример 1.15. Решить систему уравнений |
|
|||||
|
x − 2y + 2z = 2, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y + z = 5, |
|||||
|
|
3x + 4y |
= 3. |
|||
|
|
Р е ш е н и е.Прямой ход метода Гаусса:
1 −2 2 |
|
2 |
1 −2 2 |
|
2 |
1 −2 2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
5 −3 |
|
1 |
|
|
5 −3 |
|
1 |
|
2 |
|
5 |
0 |
|
|
0 |
|
. |
||||||
|
4 |
0 |
|
|
|
10 −6 |
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
3 |
|
3 |
0 |
|
−3 |
0 |
|
−5 |
Поскольку третье уравнение системы, соответствующей полученной матрице, имеет вид 0 x + 0 y + 0 z = −5 , делаем вывод, что система несовместна, так как 0 ≠ −5 .
23
Задачи для самостоятельного решения
1.20. Методом Гаусса решить системы уравнений:
x − 4x |
− 2x |
= −3, |
x + 2x |
+ 4x = 31, |
||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
а) |
3x1 + x2 |
+ x3 |
= 5, |
б) 5x1 + x2 + 2x3 = 20, |
||||||
|
|
|
−6x3 = −9; |
|
3x1 − x2 |
+ x3 = 9; |
||||
3x1 −5x2 |
|
|||||||||
x + x − x =1, |
x + 2x +3x = 0, |
|||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
в) 8x1 +3x2 −6x3 = 2, |
г) 3x1 + x2 + 2x3 = 3, |
|||||||||
|
4x + x − 3x = 3; |
x −3x − 4x =1; |
||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
5x1 −6x2 + 2x3 =10, |
|
3x1 − x2 |
+ 2x3 = −1, |
|||||||
д) x1 + 4x2 |
− x3 = 3, |
е) −3x1 +8x2 +8x3 = −10, |
||||||||
2x |
+ 22x |
−7x = 5; |
x + 2x + 4x = −4. |
|||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
3 |
1.21. Решить системы уравнений:
а)
в)
д)
ж)
x − 3x + 2x + x = 5, |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
2x1 +3x2 + x3 + 2x4 = −2, |
||||||
x + |
x +3x + |
x |
= 2, |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
4x +5x + 2x −6x = 7; |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
x − x + 2x + 2x = 2, |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
3x1 − 2x2 − x3 − x4 = −1, |
||||||
5x −3x − 4x − 2x = −4, |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
7x − |
4x |
−7x − |
5x |
|
= −7; |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
3x + 2x −3x + 4x =1, |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
2x1 +3x2 − 2x3 + 2x4 = 2, |
||||||
4x + 2x −3x + 2x = 3, |
||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
4x2 + x3 + |
4x4 =1; |
|||
|
|
|||||
|
2x − x +3x + 4x = 5, |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
4x1 − 2x2 +5x3 + 6x4 = 7, |
|||||
|
6x −3x + 7x +8x = 9, |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
8x − 4x |
+9x + |
10x =11. |
||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
4 |
|
7x + x −5x + 2x =−9, |
|||||||
|
1 2 |
3 |
|
|
4 |
|
||
|
2x1 + 4x2 +3x3 + x4 = 5, |
|||||||
б) |
3x |
+5x |
+ x + |
6x |
|
= −13, |
||
|
|
|||||||
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|||
4x + 2x − 2x +3x = −9; |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
4x − 2x + 5x + 6x = 7, |
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
2x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2, |
||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
16x1 −7x2 +16x3 +18x4 = 20, |
||||||||
|
4x |
− x |
+ 2x |
|
+ 2x = 2; |
|||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
||
x + 2x + 4x − 3x = 5, |
||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 =8, |
|||||||
е) |
4x + 5x − 2x +3x = −1, |
|||||||
|
||||||||
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|||
3x |
+8x |
+ 24x |
|
− |
19x = 29; |
|||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
4 |
3x1 + 2x2 −3x3 + 4x4 =1,
з) 2x1 +3x2 − 2x3 +3x4 = 2,4x1 + 2x2 −3x3 + 2x4 = 3.
24