Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Украинская академия банковского дела Национального банка Украины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Частина 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

772.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Границя відношення многочленів при x → ∞

lim a0 xn + a1 xn−1 +... + an−1 x + an x→∞ b0 xm +b1 xm−1 +... +bm−1 x +bm

	∞	0,	m > n,
	∞		b0 , m = n,
=		= a0	b0 , m = n,
	∞		n > m.
		∞,	n > m.

Приклад 1.16

− x2 +3x −1

∞

1−

−

1−0 +0 −0

► lim

= lim

2 +0

x→∞ 2x3 +5x

∞

x→∞

2 +

Границя відношення многочленів при x → x0

xn + a xn−1

... + a

n−1

x + a

lim

... + b

x + b

x→х0 b xm + b xm−1

m−1

Якщо при x → x0 чисельник і знаменник прямують до 0, то ми маємо невизначеність виду 00 . Для її розкриття необхідно чисельник і знаменник поділити на (x – x0) і потім перейти до границі при x → x0.

Якщо при цьому знову утвориться невизначеність виду 00 , то треба

повторити ділення чисельника й знаменника на (x – x0) доти, поки хоча б один із них перестане обертатися в нуль при х = х0.

Приклад 1.17

► lim

x3 − x2 − x

. Поділимо чисельник і знаменник на х – 1

−3x +

x→1

_ х3 – х2 – х + 1

х – 1

_х3 – 3х + 2

х – 1

х3 – х2

х2 – 1

х3 – х2

х2 + х – 2

–х + 1

_х2 – 3х

–х + 1

х2 – х

_–2х + 2

–2х + 2

−x2

−x +1

x2 −1

=lim

(x −1)(x +1)

=lim

x +1

lim

=lim

x→1 x3 −3x +2

x→1 x2

+x −2

x→1(x −1)(x +2)

x→1 x +2

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Границі функцій, що містять ірраціональність
Приклад 1.18
	3 − 5 + x		0
► lim		=		. Помножимо чисельник і знаменник на

x→4 x2 −3x −4			0

вираз 3 + 5 + x, спряжений до чисельника:

lim

(3 −

5 + x )(3 +

5 + x )

= lim

− ( 5

+ x )2

x → 4

(x 2 − 3 x − 4 )(3 + 5 + x )

→ 4

(x 2 − 3 x − 4 )(3 + 5 + x )

=lim

4 − x

=lim

−1

=−

(x −4)(x +1)(3 +

5 + x)

x→4

→4 (x +1)(3+ 5 + x)

Приклад 1.19

+ 4 − x)= (∞ 0)= lim

x2 + 4 − x)(

x2 + 4 + x)=

► lim x(

x→∞

x2 + 4 + x

x(x2 + 4 − x2 )

∞

= lim

= 2.

x2 + 4 + x

x→∞

x→∞ x2

+ 4 + x

∞

x→∞ 1 + 4 x2 +1

Застосування першої визначної границі

Приклад 1.20

► lim

− cos 6 x

2 sin 2 3x

sin 3x

= lim

= 2 lim

→0

x→0

sin 3x 2

=18.

= 2lim

9 =18 lim

=18 1

x→0

Приклад 1.21

arcsin3x = t; t

→ 0 при х → 0

► lim

arcsin3x

x→0

x = (sin t) / 3

=3lim

=3.

sint

t→0

Застосування другої визначної границі

Приклад 1.22

3x + 4 5x+1

5x+1

∞

3x + 4

► lim

=(1

lim 1 +

−1

3x + 2

→∞

3x + 2

x→∞

			5x+1			2	(3x+2) / 2
		2				2
=lim 1	+			= lim 1	+
=lim 1	+			= lim 1	+
x→∞		3x +2		x→∞		3x +2

2(5 x+1)			5+(1/ x)
3 x+2		2 lim		10

	= e
		x→∞ 3+( 2 / x) = e 3 .

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Зауваження. Друга визначна границя застосовується для розкриття невизначеностей 1∞, одержуваних при обчисленні границь виду:

lim f (x) g ( x) ,

де

f (x) →1, g(x) → ∞. Якщо

f (x) → a ≠1; 0,

x→x0

(x→∞)

а g(x) → ∞, то lim

при 0 < a <1,

f (x)g ( x) = (a∞ ) =

при a >1.

(x→∞)

∞,

x→x0

Приклад 1.23

2x +1 5 x−1

+ (1/ x) 5 x−1

∞

► lim

= lim

= 0.

x→∞

3x + 4

x→∞

+ (4 / x)

Застосування еквівалентних нескінченно малих функцій

Приклад 1.24

х → 0

arctg2x ~ 2x

► lim arctg2x

при

= lim

2x =

2 .

sin 3x ~ 3x

x→0

sin 3x

x→0

Питання для самоперевірки

1.Сформулюйте означення границі функції при x → х0 і x → ∞.

2.Сформулюйте означення лівосторонньої та правосторонньої границь функції у точці х0.

3.Сформулюйте основні теореми про границі функції.

4.Яка функція називається нескінченно малою? Перелічіть її властивості.

5.Яка функція називається нескінченно великою? Перелічіть її влас-

тивості.

6.Як зв’язані нескінченно малі та нескінченно великі функції?

7.Як порівняти дві нескінченно малі функції?

8.Запишіть першу та другу визначні границі.

1.9.НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ

1.9.1. Неперервність функції у точці. Властивості неперервних функцій

Дамо декілька означень неперервної у точці x0 функції.

Нехай функція f(x) визначена в точці x0 й у деякому її околі.

1. Функція f(x) називається неперервною в точці x0, якщо границя

функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

2.Функція f(x) називається неперервною у точці x0, якщо для будьякого ε > 0 можна визначити такий δ-окіл точки x0 (обумовлений нерівністю х – x0 < δ), для всіх точок якого виконуватиметься не-

рівність: f(x) – f(x0) < ε.

Приростом незалежної змінної х у точці x0 називається різни-

ця ∆х = x – x0.

Приростом функції y = f(x) у точці x0, що відповідає приросту аргументу ∆х, називається різниця: ∆у = f(x0 + ∆x) – f(x0).

3.Функція у = f(x) називається неперервною у точці x0, якщо нескінченно малому приросту аргументу ∆х відповідає нескінченно ма-

лий приріст функції ∆у, тобто lim y = 0, або ∆y → 0 при ∆х → 0.

x→0

4. Функція f(x) називається неперервною в точці x0, якщо лівостороння границя f(x0 – 0) дорівнює правосторонній границі f(x0 + 0) і дорівнює значенню функції в точці f(x0), тобто:

f (x0 − 0) = = f (x0 + 0) = f (x0 ).

Це означення неперервності використовується при розв’язанні задач.

Властивості функцій, неперервних у точці

1.Якщо f(x) і φ(х) неперервні в точці x0, то в цій точці неперервна їхня сума (різниця) f(x) ± φ(x), добуток f(x) φ(х) і частка f(x) / φ(х) (за умови φ(x0) ≠ 0).

2.Якщо функція f(x) неперервна в точці x0 і f(x0) > 0 (f(x0) < 0), то іс-

нує такий окіл точки x0, в якому f(x) > 0 (f(x) < 0).

3.Якщо функція y = f(u) неперервна в точці u0, а функція u = φ(x) неперервна в точці x0 (u0 = φ(x0)), то складна функція u = f [φ(x)] неперервна в точці x0. Ця властивість може бути записана у вигляді:

lim	f [ϕ(x)]= f	lim ϕ(x)	, тобто знак границі можна вносити під
x→x0
x→x0		x→x0

знак неперервної функції.

4.Елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона ви-

значена.

Одностороння неперервність

Нехай функція f(x) визначена в точці x0 та у її лівосторонньому

(правосторонньому) околі. Тоді якщо f(x0 – 0) = f(x0) (f(x0 + 0) = f(x0)), то функція f(x) неперервна в точці x0 зліва (справа).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

1.9.2. Точки розриву. Класифікація точок розриву

Якщо в точці x0 функція f(x) не є неперервною, то точка x0 називається точкою розриву функції.

Якщо в точці x0 існують скінченні лівостороння f(x0 – 0) і право-

стороння f(x0 + 0) границі, але рівність f(x0 – 0) = f(x0 + 0) = f(x0) не виконується, то точка x0 називається точкою розриву 1-го роду.

Якщо в точці x0 хоча б одна з односторонніх границь дорівнює нескінченності або не існує, то точка x0 називається точкою розриву

2-го роду.

Наведемо приклади функції, що мають у точці x0 = 0 розрив 2-го роду.

Приклад 1.25. f(x) = sin(1/x).

► Границя limsin(1/ x) не існує, x0 = 0 − точка розриву 2-го роду.

x→0

Приклад 1.26. f(x) = 1/x.

► lim 1/ x = (1/±0) = ±∞ − точкаx0 = 0 − точкарозриву2-городу.

x→±0

Приклад 1.27. Дослідити на неперервність і побудувати графік функції

x	−1,		якщо x < 0,
	2	−1,	якщо 0 ≤ x < 2,
f (x) = x
	− x,		якщо x ≥ 2.
4

► Оскільки кожна з функцій х – 1, х2 – 1, 4 – х визначена й неперервна на всій числовій осі, то для визначення точок розриву функції необхідно дослідити точки зміни одного аналітичного виразу іншим, тобто точки х1 = 0 , х2 = 2. Дослідження проводимо за допомогою

4-го означення неперервності. Обчислимо лівосторонню й правосторонню границі й значення функції у точках х1 , х2:

f (0 − 0) = lim (x −1)= −1;	f (0 + 0) = lim (x2 −1)= −1;	f (0) = 02 −1 = −1.
x→0−0	x→0+0
Оскільки f(0 – 0) = f(0 + 0) = f(0), то у точці		х1 = 0 функція f(x)
неперервна.
У точці х2 = 2 маємо:

f (2 −0) = lim (x2 −1)= 3;

x→2−0

f (2 + 0) = lim (4 − х)= 2;

x→2+0

f (2) = 4 − 2 = 2.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Оскільки f(2 – 0) ≠ f(2 + 0) = = f(2), то при х = 2 функція має розрив 1-го роду (функція неперервна справа і розривна зліва). Побудуємо графік (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Приклад 1.28. Дослідити на неперервність функцію y = 21(1−x).

► При х ≠ 1 функція 1 / (1 – x) неперервна, отже, неперервна і функція 21(1−x). При х = 1 функція 1 / (1 – x) невизначена, отже, невизначена і функція 21(1−x).

Обчислимо лівосторонню й правосторонню границі функції у то-

чці х = 1.

= (2

+∞ )= +∞,

f (1 − 0) = lim 21−

х = 21−(1−0 )

= 2

x→1−0

−∞

21−(1+0)

f (1 + 0) = lim 21−

х =

−0

= 0.

+∞

x→1+0

∞

f (1 − 0)

Оскільки

= +∞, то у точці

х = 1 функція має розрив 2-го роду. Для побудови графіка з’ясуємо

поведінку функції при х → ±∞.

	1			1			1	= (2 0 )=1.
lim 21−x		=	21 ∞		=	2	∞	= (2 0 )=1.
x→±∞

Отже, при х → ±∞ графік функції Рис. 1.6 має горизонтальну асимптоту у = 1

(рис. 1.6).

1.9.3. Неперервність функції на відрізку. Властивості функцій, неперервних на відрізку

Функція f(x) називається неперервною на відрізку [a, b], якщо вона неперервна в усіх точках інтервалу (a, b), неперервна справа в точці а і зліва в точці b.

Нехай f(x) задана на множині Х. Якщо існує така точка x0 X , що

для будь-якого x X виконується нерівність f(x) ≤ f(x0), то кажуть, що в точці х0 досягається найбільше значення функції sup f(x) = f(x0) = M.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Якщо f(x) ≥ f(x0), то кажуть, що в точці х0 досягається найменше значення функції inf f(x) = f(x0) = m.

1.Теорема Вейєрштрасса. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона досягає на ньому свого найбільшого М і найменшого m значень.

Найбільше і найменше значення можуть досягатися як у внутрішніх точках відрізка, так і на його кінцях. Якщо умови теореми не виконуються, наприклад, функція має розрив, або функція задана не на відрізку, а на інтервалі, то функція може і не досягати найбільшого М

інайменшого m значень. Наприклад, функція f(x) = 1 / (x − 2) на відрізку [2, 4] має розрив другого роду в точці х = 2. Найбільшого значення на цьому відрізку немає, найменше значення m = 2 досягається в точ-

ці х = 4.

2.Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на ньому, тобто m ≤ f(x) ≤ М.

3.Теорема Коші. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b]

іприймає на його кінцях значення протилежних знаків, тобто f(a) f(b) < 0, то існує принаймні одна точка a < с < b, у якій функція дорівнює нулю, тобто f(с) = 0.

Теорема Коші використовується для знаходження коренів алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, наприклад, рівняння 2х = 4х.

Питання для самоперевірки

1.Сформулюйте декілька означень неперервності функції у точці.

2.Перелічіть властивості неперервних у точці функцій.

3.Сформулюйте означення односторонньої неперервності функції у точці.

4.Сформулюйте означення точок розриву функції та наведіть їх класифікацію.

5.Сформулюйте означення неперервної на відрізку функції.

6.Перелічіть основні властивості неперервних на відрізку функцій.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

2.1.ПОХІДНА ФУНКЦІЇ ТА ДЕЯКІ ЇЇ ІНТЕРПРЕТАЦІЇ

2.1.1.Означення похідної функції однієї змінної

Розглянемо функцію y = f(x), що задана в околі точки х0.

Якщо існує скінченна границя lim			f (x) − f (x0 )		,	то вона назива-

		x→x0	x − x0

ється похідною функції f у точці х0:
	f ′(x0 ) = lim	f (x) − f (x0 )		.

	x→x0		x − x0

Різниця	x = x − x0 називається		приростом			аргументу, а
y = f (x) − f (x0 ) – приростом функції.

Таким чином, можна дати означення похідної як границі відношення приросту функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля:

	y′ = lim			y .				(2.1)
		x→0		x
2.1.2. Задача про дотичну до кривої.
	Геометричний зміст похідної
Розглянемо функцію у = f(x), яка має похідну						f ′(x0 )		в точці х0.
Рівняння січної M0 M , що проходить через точки						M 0 (x0 , f (x0 )) та
M (x0 + x, f (x0 +	x)) графіка функції у = f(x) (рис. 2.1), має вигляд:
	y =	f (x		) +	f (x0 + x) − f (x0 )		(x − x ),

		0			x			0

	де x і y – змінні координати точки січної.
	При		x → 0 кутовий коефіцієнт січної
			f (x0 + x) − f (x0 )			→ f ′(x0 ).

					x
Рис. 2.1	А тому граничне положення січної ви-
	значається рівнянням:
			y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ).					(2.2)

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Пряма, яка задається цим рівнянням, називається дотичною до графіка функції у = f(x) у точці x0. Кутовий коефіцієнт дотичної

f ′(x0 ) = tgα.

Остання формула приводить до геометричного змісту похідної:

похідна f ′(x0 ) функції у = f(x) у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції у = f(x), проведеної в точці (x0 , f (x0 )).

Геометричне тлумачення похідної як кутового коефіцієнта дотичної до графіка функції поширюється і на випадок нескінченної похідної. У цьому випадку дотична паралельна осі Oy.

2.1.3. Задача про миттєву швидкість руху. Механічний зміст похідної

Розглянемо прямолінійний рух тіла, для якого пройдена відстань є функцією від часу: s = f(t). Середня швидкість руху за час t визначається за формулою:

vcep = st .

Для визначення миттєвої швидкості тіла в даний момент часу спрямуємо t до нуля. Отримаємо:

v = lim	s	= lim	s(t0 + t) − s(t0 )	= s′(t0 ).
	t		t
t →0		t →t0

Механічний зміст похідної: похідна від відстані за часом дорівнює миттєвій швидкості руху в цей момент.

Відповідно похідна будь-якої функції при даному значенні аргументу дорівнює швидкості зміни цієї функції при х, що розглядається.

2.1.4. Економічний зміст похідної

Маргінальними витратами називають гранично можливі витрати за умов хоча б постійного відтворення виробництва відповідної про-

дукції. Аналогічно визначають маргінальні доходи та прибуток.

Позначимо через V (x), D(x) та P(x) – витрати, дохід і прибуток

виробництва x одиниць продукції. Кожна з цих величин є певною функцією кількості одиниць x виробленої та проданої продукції.

Якщо підприємство збільшує випуск продукції на x одиниць, то ці функції набудуть приросту:

V (x) =V (x + x) −V (x); D(x) = D(x + x) − D(x);

P(x) = P(x + x) − P(x).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Відношення приросту функції до приросту аргументу x характеризує приріст відповідної функції на одиницю приросту продукції, а

границя цього відношення при x → 0 стає маргінальною.

′

Економічний зміст похідної: похідні V (x), D (x), P (x) дорівню-

ють маргінальній вартості, доходу та прибутку відповідно:

•

′

V (x)

= lim

V (x + x) −V (x)

;

маргінальна вартість V (x) = lim

x→o

x→0

•

′

D(x)

= lim

D(x + x)

− D(x)

;

маргінальний дохід D (x) = lim

x→o

x→0

•

′

P(x)

= lim

P(x +

x) − P(x)

маргінальний прибуток P (x) = lim

x→o

x→0

2.2.ДИФЕРЕНЦІЙОВАНІСТЬ ФУНКЦІЇ

2.2.1.Диференційованість функції та її диференціал

Якщо приріст функції y = f(x) при х = х0 можна подати у вигляді

y = A x + o( x),

(2.3)

де A = const, то функція y = f(x) називається диференційованою при

х = х0, а А			х називається головною лінійною частиною приросту або
диференціалом функції і позначається:
			dy = А		х.
	Зауваження. Оскільки при у = х отримаємо dx =										x, можна по-
значати х = dx.

		Теорема 1. Функція диференційована в деякій точці тоді й
		тільки тоді, коли вона має в цій точці похідну
	Z1) якщодля y = f (x) існує			f ′(x0 ) = lim			y , то			y	= f ′( x0 ) +
						x→0	x			x
+ β(	x), де β( х) – нескінченно мала при					х → 0.
	Тоді		y = f ′(x0 ) x + β( x) x = f ′(x0 )			x + o(		x).
	Отже, функція y = f(x) диференційована при х = х0, причому
A =	f ′(x0 );
	2) припустимо, що y = f(x) диференційована при х = х0, тобто її
приріст має вигляд (2.3). Тоді lim				y = lim ( A +			o(	x)	) =		A = f ′( x0 ). Та-
приріст має вигляд (2.3). Тоді lim				y = lim ( A +					) =		A = f ′( x0 ). Та-
			x →0	x	x →0			x

ким чином, f(x) має похідну в точці х0, що дорівнює А.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025123.48 Кб0ЦЗ (сам.).docx
#
09.11.2018222.72 Кб4цивільн. проц.мет ден 1 част брош цивільн. проц....doc
#
05.11.2018451.58 Кб4Цивільне право (3 частина).doc
#
14.11.201946.48 Кб2цивільний процес.docx
#
08.05.2019186.88 Кб3ЦП Курс раб метод2005.doc
#
20.02.2016772.18 Кб20Частина 2.pdf
#
20.02.2016976.3 Кб157Частина 3 навчальний посібник.pdf
#
20.02.20161.14 Mб84Частина 4 практикум.pdf
#
19.09.20191.94 Mб1Чернадчук Дисс печать+++++.doc
#
18.09.2019303.1 Кб6шпора (общая).doc
#
29.10.20181.05 Mб17ШПОРА мен.doc