Частина 2
.pdf
Рис. 3.2
Якщо спроектувати всі точки цієї поверхні на площину xOy, отримаємо круг з радіусом 1 і з центром у початку координат. А це і є областю визначення функції z = 1 − x2 − y2 .
Поверхня, яка відповідає рівнянню z = f (x, y), проектуватиметься на площину xOy в область визначення цієї функції.
Графік функції двох змінних значно складніше, ніж графік функції однієї змінної. Тому існує спосіб зображення функції двох змінних, який полягає в перетині поверхні z = f (x, y) площинами z = C (C –
довільне число ), паралельними площині xOy .
Лінією рівня C називається множина точок (x, y) площини xOy ,
в яких функція набуває одного й того самого значення C і визначається співвідношенням f (x, y) = C.
Приклад 3.3. Побудувати графік функції z = x2 + y2 +1.
► Лінією нульового рівня є точка (0; 0), лінією першого рівня є
коло з центром у початку координат і радіусом 1. Сім’ю деяких ліній рівня цієї функції зображено на рис. 3.3.
Рис. 3.3
Якщо тепер кожну лінію рівня розмістити у відповідній площині, то отримаємо зображення графіка функції (рис. 3.4).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
61
Рис. 3.4
Функції трьох і більше змінних зобразити графічно неможливо.
3.2. ГРАНИЦЯ І НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Число А називається границею функції z = f (x, y) у точці M 0 , якщо для будь-якої збіжної до M0 (x0 , y0 ) послідовності точок
M1 , M 2 , ..., M n , ... |
(M n ≠ M 0 , M n D) відповідна послідовність |
зна- |
|
чень функції f (M1 ), f (M 2 ), ..., |
f (M n ), ... збігається до А. |
|
|
Коротко це записують так: |
|
|
|
lim |
f (M ) = A, |
або lim f (x, y) = A. |
(3.1) |
M →M 0 |
|
x → x0 |
|
|
|
y → y0 |
|
Функція z = f (x, y) називається неперервною в точці M 0 , якщо
границя функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
lim f (M ) = f (M 0 ), |
або lim f (x, y) = f (x0 , y0 ). |
(3.2) |
M →M 0 |
x → x0 |
|
|
y → y0 |
|
3.3. ЧАСТИННІ ПРИРОСТИ ТА ЧАСТИННІ ПОХІДНІ |
|
|
Припустимо, що задані функція z = f (x, y) і точка (x, |
y) D. |
|
Якщо зміна функції z відбувається при зміні тільки одного з аргументів, наприклад х, при фіксованому значенні другого аргументу у, то
функція набуває приросту x z = f (x + |
x, y) − f (x, y), який називаєть- |
|||||
ся частинним приростом функції f (x, y) за аргументом x. |
|
|||||
Якщо існує скінченна границя |
|
|
|
|||
lim |
x z |
= lim |
f ( x + |
x, y ) − f ( x, y ) |
, |
(3.3) |
x |
|
|
||||
x → 0 |
x → 0 |
x |
|
|||
|
|
|
|
|||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
62
то вона називається частинною похідною функції f (x, y) за аргумен-
том х і позначається одним із символів: ∂∂ xz , ∂∂fx , f x′.
Аналогічно дається означення частинного приросту ментом у і частинної похідної f (x, y) за аргументом y:
∂z |
= lim |
f ( x, y + |
y ) − f ( x, y ) |
. |
∂y |
|
|
||
y → 0 |
y |
|||
|
|
|
||
z за аргу-
(3.4)
Під час обчислення частинних похідних користуються вже відомими правилами і формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи при цьому другу змінну сталою.
Приклад 3.4. Знайти частинні похідні функції z = arccos xy
( y > 0).
► Вважаємо величину y сталою, маємо:
∂z |
= − |
1 |
|
1 |
= − |
1 |
. |
|
∂x |
1 − (x / y)2 y |
y2 − x2 |
||||||
|
|
|
||||||
Вважаємо величину x сталою, маємо:
∂z |
= − |
1 |
|
− |
x |
|
= |
x |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂y |
|
y 2 |
y |
|
y 2 − x 2 |
||||||
|
1 − ( x / y) 2 |
|
|
|
|
|
|||||
Аналогічно даються поняття частинних похiдних функцій трьох і більше змінних.
Частинні похідні функції декількох змінних визначаються і обчислюються також у припущенні, що змінюється тільки одна з незалежних змінних, а інші при цьому фіксовані.
Частинна похідна функції кількох змінних має той же механічний зміст, що і похідна функції однієї змінної – це швидкість зміни функції відносно зміни одного з аргументів.
3.4. ПОХІДНА ЗА ДАНИМ НАПРЯМОМ. ГРАДІЄНТ ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Частинні похідні дають “швидкість зміни” функції f (x, y) у на-
прямах, паралельних координатним осям. Проте часто буває, що потрібно знайти швидкість зміни f (x, y) в будь-якому напрямі. Диференційована
функція, як побачимо далі, має похідну в довільному напрямку.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
63
На довільній осі l візьмемо фіксовану чку P(x + x, y + y). Позначимо через ϕ віссю Ox, а через ρ – відстань від точки P
точку M (x, y) і змінну токут, який утворює вісь l з до точки M (рис. 3.5):
Рис. 3.5
Якщо існує границя відношення
lim |
f (x + x, y + y) − f (x, y) |
, |
(3.5) |
|
P→M |
ρ |
|
коли точка P по осі l наближається до M, то цю границю називають по-
хідною від функції f (x, y) у точці M за напрямом l і позначають ∂∂fl.
Припустимо, що |
f (x, y) маєнеперервнічастинніпохідні |
∂f |
і |
∂f . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
Точка |
P наближається до |
M |
по прямій |
l, |
|
отже, |
|||
x = ρcosϕ, |
y = ρsinϕ. |
|
|
|
|
|
|||
Таким чином, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x + |
x, y + y) − f (x, y) |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= fx (x, y)cosϕ + fy (x, y)sinϕ. |
|
|
||
|
|
ρ |
|
|
|||||
|
ρ→0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, за умов, накладених вище на частинні похідні, границя (2.50) існує, тому остаточно
∂f |
= |
′ |
′ |
(3.6) |
∂l |
fx (x, y) cosϕ + fy (x, y)sinϕ. |
|||
|
|
|
|
|
Ця формула є формулою похідної за даним напрямом.
У фіксованій точці ця похідна є функцією кута ϕ. Виникає питання: в якому ж напрямі похідна має найбільшу величину, тобто в якому напрямку функція f (x, y) зростає найшвидше?
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
64
→ |
∂f |
і |
∂f |
та |
Вектор g, який має за проекції на координатних осях |
||||
|
∂x |
|
∂y |
|
вказує напрям найшвидшого зростання функції
градієнтом функції в точці M і позначається
g = grad f (x, y) = ∂f |
i + |
∂f j. |
→ |
→ |
→ |
∂x |
|
∂y |
f (x, y), називається
(3.7)
Якщо б ми розглядали функцію від трьох змінних u = f (x, y, z),
то для похідної за напрямком дістали б:
∂∂fl = fx′(x, y, z) cosα + fy′(x, y, z) cosβ + fz′(x, y, z) cosγ,
де cosα, cos β, cosγ є напрямними косинусами l. А для градієнта в цьому випадку мали б:
g = grad f (x, y, z) = ∂f |
i + ∂f |
j+ ∂f |
k . |
→ |
→ |
→ |
→ |
∂x |
∂y |
∂z |
|
(3.8)
(3.9)
Геометрично напрямок градієнта функції співпадає із напрямком найшвидшого зростання величини, що задається цією функцією, а його модуль дорівнює частинній похідній цієї функції за даним напрямком.
В економіці градієнт використовується під час розв’язання задач оптимізації.
3.5. ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
Частинними похідними другого порядку функції z = f (x, y) на-
зиваються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку, якщо вони існують.
Частинні похідні другого порядку позначаються так:
∂∂f = ∂x ∂x
∂∂f = ∂x ∂y
∂2 f |
= |
fxx′′; |
|
∂x2 |
|||
∂2 f |
= |
f yx′′; |
|
∂y∂x |
|||
|
|
∂ ∂f |
|
|
|
∂2 f |
= fxy′′; |
|||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||
|
|
∂x∂y |
||||||||
∂y ∂x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= |
∂ |
|
f |
= f yy′′. |
|
|
∂ ∂f |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|||||
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|||||
Аналогічно визначаються частинні похідні більш високого порядку. Частинна похідна другого або більш високого порядку, взята за деякими різними змінними, називається мішаною частинною похідною.
Теорема. Дві мішані частинні похідні однієї й тієї ж функції, що відрізняються лише порядком диференціювання, дорівнюють одна одній за умови їх неперервності
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
65
|
Приклад 3.5. Знайдемо частинну похідну |
|
∂3 z |
від функції |
|||||||
|
∂x∂y∂x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z = ex (cos y + xsin y). |
|
|
|
|
|||||
∂z |
► Маємо: |
∂2 z |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
′ |
|
|
x |
|
|
|||
|
= e |
(cos y + sin y + xsin y), |
|
= |
|
|
= e |
|
(cos y −sin y + x cos y), |
||
∂x |
∂x∂y |
|
|
||||||||
|
|
|
∂x y |
|
|
|
|
|
|
||
∂3 z |
|
∂2 z |
|
′ |
= e |
x |
(2 cos y −sin y + x cos y). |
|
= |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
∂x∂y∂x |
|
∂x∂y x |
|
|
|
|
|
3.6. ПОВНИЙ ПРИРІСТ. ПОВНИЙ ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ НЕЗАЛЕЖНИХ ЗМІННИХ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
Дано функцію двох змінних z = f (x, y). Припустимо, що її аргу-
менти x і y отримують прирости x |
і |
y. Тоді функція z = f (x, y) |
|||
отримує повний приріст |
|
|
|
|
|
z = f (x + |
x, y + |
y) − f (x, y). |
(3.10) |
||
Геометрично повний приріст |
z |
дорівнює приросту аплікати |
|||
графіка функції f (x, y) |
при |
переході |
від точки M (x, y) |
у точку |
|
M1 (x + x, y + y). |
|
|
|
|
|
Функція z = f (x, y) |
називається диференційованою в точці (x, y), |
||||
якщо її повний приріст |
z може бути поданий у вигляді: |
|
|||
z = A(x, y) x + B(x, y) y + o(ρ),
де ρ = ( x)2 + ( y)2 ;
o(ρ) – нескінченно мала більш високого порядку, ніж ρ.
Якщо функція z = f (x, y) диференційована в даній точці, то її
повним диференціалом називається головна частина повного приросту цієї функції, лінійна відносно x і y, тобто
dz = A(x, y) x + B(x, y) y.
Диференціали незалежних змінних, за означенням, дорівнюють їх приростам dx = x, dy = y. Диференціал функції z = f (x, y) обчис-
люється за формулою:
dz = ∂z dx + |
∂z dy. |
(3.11) |
∂x |
∂y |
|
Якщо замінимо наближено приріст функції її диференціалом (у |
||
припущенні достатньої малості значень |
x і y), отримаємо: |
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
66
z ≈ dz = fx′(x, y)dx + f y′(x, y)dy. |
(3.12) |
Звідки маємо:
f (x + x, y + y) ≈ f (x, y) + dz = f (x, y) + fx′(x, y)dx + f y′(x, y)dy.
Усі ці міркування можна перенести на функції трьох і більше
змінних. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 3.6. Обчислити наближено ln(3 1,003 + 4 |
0,998 −1). |
|
|
|
|||||||||||||||
► Шукане |
число |
розглядатимемо |
|
|
|
як |
|
|
значення |
функції |
|||||||||
f (x, y) = ln(3 x + 4 |
y −1) |
при |
x = x + |
x, |
|
|
y = y |
0 |
+ |
y, якщо |
x |
0 |
=1, |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y0 =1, x = 0,003, |
y = −0,002. Застосуємо формулу |
|
|
|
|
||||||||||||||
f (x0 + x, y0 + y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx′(x0 , y0 )dx + f y′(x0 , y0 )dy, |
|
|
|||||||||||||||||
маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 , y0 ) = ln(3 1 + 4 |
1 −1) = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
fx' (x0 , |
y0 ) = |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
= |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
1 + 4 1 −1 |
3 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
f y' (x0 , y0 ) = |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
= |
1 . |
|
|
|
|
|||
|
|
1 + 4 1 −1 |
4 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Отже, |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 0,003 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln(3 1,03 + 4 0,98 −1) ≈ 0 + |
(−0,002) = 0,0005. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ СКЛАДЕНИХ ФУНКЦІЙ
Випадок однієї незалежної змінної
Якщо функція z = f (x, y) є диференційованою функцією двох змін-
них x і y, а аргументи цієї функції самі є диференційованими функціями незалежної змінної t: x =ϕ(t) і y =ψ (t), тоді складена функція
z = f (ϕ(t),ψ (t)) диференційована, їїпохіднаобчислюєтьсязаформулою
dz |
= |
∂z |
|
dx |
+ |
∂z |
|
dy . |
(3.13) |
dt |
|
∂x |
|
dt |
|
∂y |
|
dt |
|
Припустимо тепер, що z = f (x, y), |
де y =ϕ(x). Тоді z = f (x,ϕ(x)), |
||||||||
тобто функція z є функцією однієї змінної x. Цей випадок зводиться до попереднього, де роль змінної t відіграє x, “повна” похідна функції z за змінною x дорівнює
dxdz = ∂∂xz + ∂∂yz dydx .
Приклад 3.7. Знайти |
dz |
, якщо z = e2 x+5 y , де x = sin t, |
y = t 3 . |
|
dt |
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
67
► Маємо ∂z = 2e2 x+5 y , |
|
∂z |
= 5e2 x+5 y , dx = cost, |
|
dy = 3t2 ; |
|
|||||||||||||||
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|||
dz = 2e2 x+5 y |
cost +5e2 x+5 y 3t2 |
= e2sin t+5t3 (2cost +15t2 ). |
|
||||||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 3.8. Знайти частинну похідну |
∂z й повну похідну |
dz , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
dx |
якщо z = e3 xy , а y = |
x2 + 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
► Маємо ∂z = 3y e3xy , |
∂z |
= 3xe3 xy , |
|
dy |
= |
|
x |
|
|
, |
|
|
|||||||||
∂y |
|
dx |
|
x2 + |
4 |
|
|||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dz = 3y e3 xy + 3x e3 xy |
|
|
|
x |
|
|
= |
6e3 x x2 +4 |
|
(x2 + 2) |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
x2 + 4 |
|
||||||
Випадок декількох незалежних змінних |
|
||||||||||||||||||||
Припустимо тепер, що |
z = f (x, |
y), |
|
де |
x =ϕ(u, v) і y =ψ (u, v). |
||||||||||||||||
Тоді z є складеною функцією двох незалежних змінних u і v. |
Час- |
||||||||||||||||||||
тинні похідні цієї складеної функції знаходять за формулами: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
∂z |
|
= |
∂z |
|
∂x |
|
+ |
∂z |
|
∂y |
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂u |
|
∂x |
∂u |
∂y |
∂u |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∂z |
|
= |
∂z |
|
∂x |
+ |
∂z |
|
∂y . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∂v |
|
∂x |
|
∂v |
|
∂y |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ці формули узагальнюються для випадку складеної функції будьякого скінченного числа аргументів. У всіх випадках справедлива формула:
dz = |
∂z |
dx + |
∂z |
dy. |
(3.14) |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
Формула (3.14) відображає властивість інваріантності форми повного диференціала.
3.8. НЕЯВНІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ
Припустимо, що F – диференційована функція змінних x, y, z і рівняння F(x, y, z) = 0 визначає z як функцію незалежних змінних x і y.
Частинні похідні цієї неявної функції z = z(x, y) у точці (x, y) обчислюються за формулами:
∂z |
= − |
F′(x, y, z) |
; |
∂z |
= − |
Fy′(x, y, z) |
, Fz′(x, y, z) ≠ 0. (3.15) |
|
|
x |
|
|
|||||
∂x |
Fz′(x, y, z) |
∂y |
Fz′(x, y, z, ) |
|||||
|
|
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
68
Приклад 3.9. Знайти частинні похідні ∂∂xz і ∂∂yz , якщо z визначається
як функція від x і y з рівняння z3 − 4xy2 − 2z2 +1 = 0.
► Позначимо ліву частину даного рівняння через F(x, y, z). Тоді
Fx′(x, y, z) = −4 y2 , Fy′(x, y, z) = −8xy, Fz′(x, y, z) = 3z2 − 4z.
Звідси маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂z |
= − |
Fx′(x, y, z) |
= |
4 y2 |
; |
∂z |
= − Fz′(x, y, z) |
= |
8xy |
. |
|
∂x |
Fz′(x, y, z) |
3z2 − 4z |
∂y |
3z2 − 4z |
|||||||
|
|
|
Fz′(x, y, z) |
|
|
||||||
3.9. ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ
Функція z = f (x; y) має максимум (мінімум) в точці M0 (x0 , y0 ), якщо для будь-якої точки M (x, y), що знаходиться у деякому δ -околі точ-
ки M0 (x0 , y0 ), |
виконується умова: f (x0 , y0 ) > f (x, y), ( f (x0 , y0 ) < f (x, y)); |
|||
δ -окіл точки |
M 0 (x0 , y0 ) можна подати як множину точок M (x, y), |
|||
координати яких задовольняють умову |
(x − x )2 |
+ ( y − y |
)2 < δ, де δ – |
|
|
|
0 |
0 |
|
додатне досить мале число.
Максимуми та мінімуми функції називають екстремумами, а точку M0 (x0 , y0 ) – точкою екстремуму.
Теорема 1. Якщо z = f (x; y) – диференційована й досягає в точці M0 (x0 , y0 ) екстремуму, то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю
Точки, в яких частинні похідні першого порядку обертаються в нуль (або не існують) називаються стаціонарними (або критичними).
Припустимо, що M0 (x0 , y0 ) – стаціонарна точка функції z = f (x; y). Позначимо частинні похідні другого порядку так:
|
∂2 z(M 0 ) = A; |
∂2 z(M 0 ) = C; |
∂2 z(M 0 ) |
= B. |
|
|
|
∂x2 |
∂y2 |
∂x∂y |
|
Визначник |
= AC − B2 |
називається гессіаном. |
|
||
|
|
||||
|
Теорема 2. Якщо функція z = f (x; y) – неперервна разом зі |
||||
|
своїми |
похідними |
першого та |
другого |
порядку, і точка |
|
M0 (x0 , y0 ) є стаціонарною точкою, то якщо: |
||||
1)> 0, то точка M0 (x0 , y0 ) – точка екстремуму, при A > 0
(або C > 0 при A = 0 ) у точці M0 (x0 , y0 ) функція має
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
69
мінімум, а якщо A < 0 (або C < 0 при A = 0 ) у точці M0 (x0 , y0 ) функція має максимум;
2)< 0, то точка M 0 (x0 , y0 ) – не є точкою екстремуму;
3)= 0, то потрібні додаткові дослідження.
Приклад 3.10. Знайти екстремум функції |
|
|
|
|||
3 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
z =2 x +2xy−2 y −5x−y |
+2. |
|
|
|||
► Знайдемо частинні похідні: |
∂z |
=3x +2y −5; |
∂z |
= 2x − y −1. |
||
Знаходимо стаціонарні точки: |
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 x + 2 y − 5 = 0, |
|
|
|
||
|
2 x − y |
− 1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Точка M0 (1;1) – стаціонарна. Знайдемо значення других похідних
∂2z(M0 ) |
=3; |
∂2 z(M0 ) |
=−1; |
∂2 z(M0 ) |
=2. |
∂x2 |
|
∂y2 |
|
∂x∂y |
|
Отже, знак гессіана |
= 3(−1) − 22 = −7 < 0, тобто в точці M 0 (1;1) |
||||
функція не має екстремуму.
3.10. НАЙБІЛЬШЕ І НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ, НЕПЕРЕРВНОЇ У ЗАМКНЕНІЙ ОБМЕЖЕНІЙ ОБЛАСТІ. УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ.
МЕТОД МНОЖНИКІВ ЛАГРАНЖА
Функція z = f (x; y), диференційована в обмеженій області, на-
буває в ній найбільшого та найменшого значень у стаціонарних точках або в граничних точках. Таким чином, щоб знайти найбільше і найменше значення функції в замкненій області, необхідно:
1)знайти стацiонарнi точки, розмiщенi в даній області, i обчислити значення функції в цих точках;
2)дослідити функцію на екстремум на межі області;
3)з усix знайдених значень обрати найбільше i найменше.
Приклад 3.11. Знайти найбільше і найменше значення функції z = x2 + 2y2 – 2x – 8y + 4 в замкненому трикутнику АОВ, обмеженому осями координат i прямою х + у – 4 = 0 (рис. 3.6).
► Знайдемо частинні похідні: |
∂z |
= 2x −2; |
∂z |
= 4y −8. |
|
∂x |
|
∂y |
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
70