Частина 2

Приклад 2.13. Визначимо тип екстремуму функції y = x³ – 3x2 + 7 при х = 1.

► Точка х = 1 є критичною, оскільки y′ = 3x² – 3x = 0 при х = 1. Оскільки при x < 1 y′ < 0, а при x > 1 y′ > 0, x = 1 – точка мінімуму. Можна було б встановити цей факт за допомогою другої похідної: y′′ = 6x – 3; y′′(1) = 3 > 0. Отже, функція в цій точці досягає мінімуму (теорема 4).

Приклад 2.14. Дослідимо на екстремум функцію y = x5 + x3.

►y′ = 5x4 + 3x² = x²(5x² + 3) = 0 при х = 0. При цьому y′′ = 20x³ +

+6x = 0 при х = 0, y′′′ = 60x² + 6 = 6 ≠ 0 при х = 0. Порядок першої ненульової похідної у точці х = 0 дорівнює непарному числу 3, отже, за теоремою 5 функція не має екстремуму в цій точці, а оскільки критична точка єдина, функція взагалі не має екстремумів.

2.16.3. Найбільше та найменше значення функції

Припустимо, що функція y = f(x) диференційована на відрізку [a, b]. Тоді за теоремою 2 пункту 2.2 вона неперервна на ньому і за теоремою Вейєрштрасса досягає на цьому відрізку свого найбільшого та найменшого значень. Якщо f(x) має на [a, b] скінченну кількість критичних точок, то її найбільше значення буде або одним із її максимумів (а саме – найбільшим максимумом) або досягатиметься в одній із кінцевих точок відрізка. Те ж саме можна сказати й про найменше значення. Отже, пошук найбільшого та найменшого значень диференційованої функції на відрізку можна проводити за такою схемою:

1)знайти критичні точки функції, що належать даному відрізку;

2)обчислити значення функції в точках а і b, а також у знайдених критичних точках. Найменше з отриманих чисел буде найменшим значенням функції на даному відрізку, а найбільше – її найбільшим значенням на ньому.

Приклад 2.15. Знайдемо найбільше та найменше значення функції

y= x³ +3x² – 9x – 15 на відрізку [– 4, 4].

►Знайдемо похідну й прирівняємо її до нуля:

y′ = 3x² + 6x – 9 = 0 при х = –3 й х = 1.

При цьому обидві знайдені критичні точки належать даному відрізку. Обчислимо значення функції: при х = –4, х = –3, х = 1 і х = 4:

у(–4) = 5, у(–3) = 12, у(1)= –20, у(4) = 61.

Отже, найбільше значення функції на відрізку [–4, 4] дорівнює 61 і досягається на його правій межі, а найменше значення дорівнює (–20) і досягається в точці мінімуму всередині відрізка.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

51

Теорема 7 (необхідна умова точки перегину). Якщо в точці x0

перегину кривої, що є графіком функції y = f(x), існує друга похідна f ′′(x), то f′′(x0) = 0

різниця y − y зберігала б знак у деякому околі точки х0, у той час, як у точці перегину ця різниця повинна змінювати знак. Отже, f′′(x0) = 0.

Теорема 8 (достатня умова точок перегину). Якщо функція y = f(x) диференційована в точці х0, двічі диференційована у проколеному околі цієї точки і f′′(x) змінює знак при х = х0, то х0 – точка перегину

Зауваження. Можна довести, що якщо в умовах теореми 5 критична точка не є точкою екстремуму, то вона є точкою перегину.

Приклад 2.16. Знайдемо інтервали опуклості й угнутості та точки перегину функції y = x³ – 6x² + x – 12.

► Для цього знайдемо другу похідну, прирівняємо її до нуля й зробимо відповідний висновок: y′ = 3x² – 12x + 1, y′′ = 6x – 12. y′′ = 0 при х = 2, y′′ < 0 при х < 2, y′′ > 0 при х > 2.

Отже, графік функції є опуклим при х < 2, вгнутим при х > 2, а х = 2 – точка його перегину.

2.16.5. Асимптоти

Пряма називається асимптотою графіка функції y = f(x), якщо відстань від змінної точки цього графіка до прямої наближається до нуля при віддаленні точки у нескінченність.

Розглянемо три види асимптот та визначимо способи їх знаходження.

1.Вертикальні асимптоти, що задаються рівняннями

х= а.

Уцьому випадку означення асимптоти підтверджується, якщо хоча б одна з односторонніх границь функції в точці а нескінченна.

Приклад 2.17. Вертикальною асимптотою графіка функції y = 1 / x

єпряма х = 0, тобто вісь ординат.

2.Горизонтальні асимптоти – прямі, задані рівняннями

у = а.

Такі асимптоти має графік функції, границя якої при x → +∞ або

при x → −∞ скінченна, тобто lim f (x) = a.

x→±∞

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

53

2)парність і непарність функції;

3)інтервали неперервності й точки розриву (вказати при цьому тип розриву);

4)нулі функції (тобто значення х, при яких f(x) = 0), й області постійності знака;

5)інтервали монотонності й екстремуми;

6)інтервали опуклості та вгнутості й точки перегину;

7)асимптоти графіка функції.

Зауважимо, що детальна відповідь на перше питання фактично містить відповіді на друге та частково на сьоме питання. Дійсно, якщо в область визначення не входять окремо розташовані точки й знайдені односторонні границі функції в цих точках, то тим самим вказано характер розривів. Зокрема, якщо деяка з цих односторонніх границь нескінченна, через точку розриву (або через відповідну границю області визначення) проходить вертикальна асимптота. Якщо область визначення функції необмежена зліва або справа й на нескінченності відповідного знака існує скінченна границя функції, то графік має на вказаному кінці Ох горизонтальну асимптоту.

тобто маємо функцію загального вигляду.

3. Оскільки функція є елементарною, вона неперервна на всій області визначення, тобто проміжки неперервності x (−∞; 3) (3; +∞).

Із відповіді на перше запитання випливає, що х = 3 – точка розриву 2-го роду.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

55

помножити на 100 %, то одержимо відповідний відсоток зміни початкової вартості та початкового попиту. Якщо зростання вартості p викликає спад попиту, тоді x < 0.

Розглянемо відношення відносного приросту попиту до відносного приросту вартості одиниці продукції

xx : pp = xp px .

Це співвідношення показує, у скільки разів відносний приріст попиту більше відносного приросту вартості кожного виробу.

Якщо:

•відсоток зміни попиту більше відсотка зміни вартості (η < −1), тоді

попит називають еластичним;

•відсоток зміни попиту менше відсотка зміни вартості (−1 <η < 0),

тоді попит називають нееластичним;

•η = −1, то попит називають адекватним вартості одиниці виробу.

Поняття еластичності можна застосовувати і до інших функцій економічного змісту.

У загальному вигляді, якщо існує похідна функції y = f (x) , тоді існує границя

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

57

8.Як формулюються правила диференціювання? Чому дорівнює похідна складеної функції, похідна оберненої функції?

9.Як формулюється властивість інваріантності диференціала?

10.Який вигляд має таблиця похідних?

11.У чому полягає метод логарифмічного диференціювання, і коли він використовується?

12.Який вигляд має формула похідної функції, що задана параметрично?

13.Що називається похідною n-го порядку?

14.Які властивості похідних вищого порядку?

15.Що називається диференціалом n-го порядку?

16.Які властивості диференціалів вищого порядку?

17.Які точки називаються точками екстремуму?

18.Як формулюються основні теореми диференціального числення?

19.Як формулюється правило Лопіталя?

20.Яка формула називається формулою Тейлора?

21.Що називається залишковим членом формули Тейлора?

22.Які існують форми залишкового члена у формулі Тейлора?

23.Як розкладають основні елементарні функції в ряд Тейлора?

24.Яка функція називається зростаючою (спадною) на деякому проміжку?

25.Як формулюються необхідна та достатня умови екстремуму?

26.Як знайти найбільше та найменше значення диференційованої функції на відрізку?

27.Яка крива називається опуклою (вгнутою) в деякій точці, на деякому проміжку?

28.Яка точка називається точкою перегину?

29.Як формулюються необхідна, достатня умови точок перегину?

30.Що називається асимптотою?

31.Які види асимптот, якими рівняннями вони задаються?

32.Які етапи входять до складу схеми дослідження функції?

33.Які приклади застосування похідної в економіці?

34.Що називається еластичністю функції?

35.Коли попит називають еластичним, нееластичним, адекватним вартості одиниці виробу?

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

59