Частина 2
.pdf
Прирівнюємо частинні похідні до нуля і розв’язуємо систему:
|
2 x − 2 |
= 0, |
|
4 y − 8 |
= 0. |
Знаходимо стаціонарну точку Р0(1; 2). Ця точка належить заданій області.
Обчислимо значення функції в цій точці:
z(P0) = z(1; 2) = 1 + 8 – 2 – 16 + 4 = – 5.
Рис. 3.6
Межа області складається з вiдрiзка ОА осi Ох, вiдрiзка ОВ осi Оу i вiдрiзка АВ. Знайдемо найбільше і найменше значення функції z на кожному з цих трьох вiдрiзкiв.
На відрізку ОА y = 0, 0 ≤ x ≤ 4. Якщо у = 0, то z(x) = x2 – 2x + 4.
|
dz |
= 2 x − 2; 2 x − 2 = 0; x = 1; P (1; 0) – стаціонарна точка на |
|
|
|
||
|
dx |
1 |
|
|
|
||
відрізку ОА; z(P1 ) = z(1; 0) = 3. |
|
||
Обчислимо значення функції на кінцях вiдрiзка ОА, тобто в точ-
ках О(0; 0) i А(4; 0): z(0; 0) = 4, z(4; 0) = 12.
На вiдрiзку ОВ х = 0, 0 ≤ y ≤ 4. Якщо х = 0, то z(y) = 2y2 – 8y + 4.
dz |
=4y −8; 4y −8 =0; y =2; Р2(0; 2) – стаціонарна точка на відрі- |
dy |
|
зку ОВ; z(P2) = –4.
У точці О(0; 0) значення функції вже було знайдено. Обчислимо значення функції в точці В: z(B) = z(0; 4) = 4.
Тепер дослідимо функцію на вiдрiзку АВ.
Рівнянням прямої АВ буде у = 4 – х. Підставивши цей вираз у фу-
нкцію z, одержимо z = x2 + 2(4 – x)2 – 2x – 8(4 – x) + 4 = 3x2 – 10x + 4,
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
71
0 ≤ x ≤ 4. Далі маємо: |
dz |
= 6 x −10, 6 x −10 = 0, звідки х = 5/3. Оскі- |
|
dx |
|||
|
|
льки у = 4 – х, то у = 7 / 3. Р3(5/3; 7/3) – стаціонарна точка на вiдрiзку АВ. Обчислимо значення функції в цій точці z(P3) = z(5/3; 7/3)=
= –13/3.
Значення функції на кінцях вiдрiзка АВ знайдені раніше. Порівнюючи одержані значення функції z у стаціонарній точці Р0
заданої області, у стаціонарних точках на межі області Р1, Р2, Р3 i в точках О, А, В, робимо висновок, що найбільше значення в заданій замкненій області функція z має в точці А, найменше значення – у точ-
ці Р0(1; 2): zнайб = z(4; 0) = 12; zнайм = z(1; 2) = –5.
Розглянутий нами приклад є задачею на умовний екстремум: потрібно знайти екстремуми функції z = f (x, y) за умови, що змінні x, y
пов’язані рівнянням
φ(x, y) = 0.
Геометрично це означає, що точка М(x, y) лежить на лінії, визначеній рівнянням φ(x, y) = 0. Якщо його можна розв’язати відносно y,
тобто задати лінію явним рівнянням y = ψ(х), то задача зведеться до дослідження на екстремум функції однієї змінної
z = f (x;ψ (x)).
Необхідна умова екстремуму:
∂f |
+ |
∂f |
dy |
= 0. |
(3.16) |
∂x |
|
∂y |
dx |
|
|
Продиференціюємо обидві частини рівняння зв’язку φ(x, y) = 0:
dϕ |
+ |
dϕ |
dy |
= 0. |
(3.17) |
|
dx |
dy |
|||||
|
dx |
|
|
Помножимо рівність (3.17) на деяке число λ, яке доберемо потім та додамо до рівності (3.16), одержимо:
∂f |
+ λ |
dϕ |
+ ( |
∂f |
+ λ |
dϕ |
) dy |
= 0. |
(3.18) |
|||
∂x |
dx |
∂y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dy dx |
|
|
||||
Число λ доберемо так, щоб |
∂f |
|
+ λ |
|
∂ϕ |
= 0. |
|
|
||||
|
|
|
∂y |
|
|
∂y |
|
|
||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
72
Тоді з рівності (3.18) одержимо:
∂∂fx + λ ∂∂ϕx = 0.
Таким чином, критичні точки функції z = f (x;ψ (x)) визначаються із системи рівнянь:
|
∂f |
+ λ |
∂ϕ |
= 0, |
|
|
∂x |
|
|
||
∂x |
|
||||
|
∂f |
|
∂ϕ |
|
|
|
+ λ |
= 0, |
(3.19) |
||
|
∂y |
∂y |
|||
|
|
|
|
||
ϕ(x, y) = 0. |
|
||||
Систему (3.19) можна записати інакше, ввівши функцію Лагран-
жа L(x, y) = f(x, y) + λ φ(x, y), де λ – множник Лагранжа.
Тоді система набуває вигляду:
|
∂L |
= 0, |
|
||
|
∂x |
|
|||
|
|
|
|
||
|
∂L |
= 0, |
(3.20) |
||
|
|
||||
∂y |
|||||
|
|
|
|
||
|
∂L |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||
∂λ |
|
|
|||
|
|
|
|
||
Розв’яжемосистему(3.20) іотримаємокритичніточкифункціїL(x, y). Питання про існування екстремуму у критичних точках вирішу-
ється окремо.
Аналогічно для функції трьох змінних з двома додатковими умовами вводяться два множники Лагранжа λ1, λ2.
3.11. МАРГІНАЛЬНА ПРОДУКТИВНІСТЬ ВИРОБНИЦТВА. ПОПИТ НА КОНКУРЕНТНІ ТОВАРИ
У бізнесі маргінальною продуктивністю виробництва називають гранично можливу продуктивність за умови постійного відтворювання виробництва.
Кількість та якість кінцевого випуску будь-якої продукції фірми залежить від багатьох факторів, які фірма може змінювати. Найбільш важливими факторами є продуктивність праці та вкладений у виробництво капітал.
Позначимо через x кількість одиниць праці, а через K – суму капіталу, вкладеного фірмою у виробництво. Величина x може вимірюватись річними робочими годинами або річною вартістю праці у гривнях.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
73
Позначимо через P кінцевий результат, наприклад, кількість одиниць випущеної фірмою продукції. Тоді
P = f (x, K ),
тобто P можна розглядати як функцію двох змінних. Ця функція на-
зивається продуктивною функцією.
У деяких випадках x та K залежні. Наприклад, фірма впровадила у виробництво нове обладнання (змінна K зросла на величину K1 ), яке до-
зволило скоротити кількість праці у три рази. У цьому випадку можна встановити функціональну залежність між x та K. У загальному випадку x та K розглядаються як незалежні змінні. Частинну похідну першого
порядку ∂∂Px називають граничною продуктивністю праці при фіксова-
ному K, а ∂∂KP – граничною продуктивністю капіталу при фіксованій продуктивності праці x (характеризує зміну випуску продукції при по-
стійних трудових витратах). Прибутки виробництва зростають, якщо |
|||
∂P |
зростає при фіксованому K, тобто коли |
∂2 P |
> 0. |
∂x |
|
∂x2 |
|
Попит на конкурентні товари
Попит на будь-який товар залежить від вартості його одиниці, якості, реклами та інших факторів, наприклад, вартості іншого товару.
Товари A і B називають взаємопов’язаними, якщо попит на товар A залежить не тільки від його вартості, але й від вартості товару B.
Позначимо PA і PB вартість одиниці відповідного товару, а X A та X B – кількісний попит на товари A і B відповідно. Якщо A і B взаємопов’язані, тоді X A і X B будуть функціями двох змінних, тобто
X A = f (PA , PB ); X B =ϕ(PA , PB ).
Частинні похідні |
∂X A , |
∂X A |
мають зміст граничного попиту на |
||||||
|
∂P |
∂P |
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
товар A відносно його вартості PA |
і PB . |
|
|
|
|
||||
Товари A і B називають конкурентними, якщо |
|||||||||
|
|
∂X A > 0, |
∂X A |
> 0. |
|
||||
|
|
∂P |
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
Еластичністю вартостей товару A відносно PA і PB буде |
|||||||||
ηP |
= |
PA |
|
∂X A , ηP = |
|
PB |
|
∂X A . |
|
|
|
||||||||
A |
|
X A |
∂PA |
B |
|
X A |
∂PB |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
74
Питання для самоперевірки
1.Що називається функцією багатьох змінних?
2.Що називається областю визначення функції багатьох змінних?
3.Що називається лінією рівня?
4.Що називається границею функції z = f (x, y) у точці?
5.Коли функція z = f (x, y) називається неперервною в точці?
6.Щоназиваєтьсячастиннимприростом, частинноюпохідноюфункції?
7.Що називається похідною за напрямом, градієнтом функції в точці?
8.Що називається мішаною частинною похідною?
9.Що називається повним приростом, повним диференціалом?
10.Який вигляд має формула диференціювання складеної функції?
11.Яка формула відбиває властивість інваріантності форми повного диференціала?
12.Який вигляд має формула диференціювання неявно заданої функції?
13.Що необхідно зробити, щоб знайти найбільше і найменше значення функції в замкненій області?
14.Яка функція називається функцією Лагранжа та коли її використовують?
15.Яка функція називається продуктивною?
16.Що називають граничною продуктивністю праці, капіталу?
17.Коли товари називають взаємопов’язаними?
18.Коли товари називають конкурентними?
19.Як визначається еластичність вартості товару?
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
75
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1.Барковський, В. В. Вища математика для економістів [Текст] : навч. посібник / В. В. Барковський, Н. В. Барковська. – К. : ЦУЛ, 2002. – 400 с.
2.Валєєв, К. Г. Вища математика [Текст] : навч. посібник / К. Г. Валєєв, І. А. Джалладова. − К. : КНЕУ, 2001. − Ч. 2. − 546 с.
3.Валєєв, К. Г. Математичний практикум [Текст] : навч. посібник / К. Г. Валєєв, І. А. Джалладова. – К. : КНЕУ, 2004. − 682 с.
4.Васильченко, І. П. Вища математика для економістів [Текст] : підручник / І. П. Васильченко. – К. : Знання, 2007. – 454 с.
5.Вища математика [Текст] : навч. посібник / під ред. Ф. М. Лимана. – Суми : Університетська книга, 2006. – 614 с.
6.Высшая математика для экономистов [Текст] : учебн. пособие / под ред. Н. Ш. Кремера. − М. : Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. − 439 с.
7.Дюженкова, Л. І. Вища математика. Приклади і задачі [Текст] : навч. посібник / Л. І. Дюженкова, О. Ю. Дюженкова, Г. О. Михалін ; під заг. ред. Л. І. Дюженкової. − К. : Академія, 2003. − 624 с.
8.Овчинников, П. Ф. Высшая математика [Текст] : учебн. пособие / П. Ф. Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко ; под общ. ред. П. Ф. Овчинникова. – К. : Вища школа, 1987. − 552 с.
9.Пастушенко, С. М. Вища математика. Основні поняття, формули, зразки розв’язування задач [Текст] : навч. посібник / С. М. Пастушенко, Ю. П. Підченко. – К. : Діал, 2000. – 160 с.
10.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике [Текст] : учебн. пособие / под ред. А. П. Рябушко. – Минск : Вышэйшая школа, 1990. – Ч. 1. – 270 с.
11.Шипачев, В. С. Высшая математика [Текст]: учебн. / В. С. Шипачев. – М. : Высшая школа, 1996. – 479 с.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
76
Навчальне видання
Долгіх Володимир Миколайович Дахер Катерина Анатоліївна
ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
Частина 2
Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення
Навчальний посібник У 4 частинах
Редактор І.О. Кругляк
Комп’ютерна верстка Н.А. Височанська
Підписано до друку 24.12.2008. Формат 60х90/16. Гарнітура Times. Обл.-вид. арк. 2,84. Умов. друк. арк. 5,00. Тираж 155 пр. Зам. № 846
Державний вищий навчальний заклад “Українська академія банківської справи Національного банку України”
40030, м. Суми, вул. Петропавлівська, 57 Свідоцтво про внесення до Державного реєстру видавців, виготівників
і розповсюджувачів видавничої продукції: серія ДК, № 3160 від 10.04.2008
Надруковано на обладнанні Державного вищого навчального закладу “Українська академія банківської справи Національного банку України” 40030, м. Суми, вул. Петропавлівська, 57